Citat:
Ursprungligen postat av
Crocodoom
Förenklade och testade u substitutionen men kommer inte fram till en lösning.
https://imgur.com/a/hiqwFYA
Vet ärligt talat inte hur man integrerar uttrycket. Kollade på wolfram och de blir Ei...Antar något imaginärt uttryck.
Känner att den här frågan inte är värd att satsa min tid på under tentamen då jag kommer bränna minst 2h av att försöka integrera då jag är urusel på det.
Vi tar den eleganta metoden först:
t^2y'(t)-(1+t)y(t)=1+t, y(1)=6
Skriv om som
Kod:
y'(t) 1+t
------- = ------
1+y(t) t^2
y'(t) 1 t
------- = ------ + ------
1+y(t) t^2 t^2
y'(t) 1 1
------- = ------ + ------
1+y(t) t^2 t
Integrera båda sidor
ln(1+y(t)) = -1/t + ln(t) + C1
1+y(t) = e^(-1/t + ln(t) + C1)
1+y(t) = e^(-1/t ) * e^(ln(t)) * e^(C1)
1+y(t) = e^(-1/t ) * t * C2
y(t) = e^(-1/t ) * t * C2 - 1
6 = y(1) = e^(-1)*1*C2-1
7 = C2/e
C2=7e
y(t) = e^(-1/t ) * t * 7e - 1
y(t) = 7ete^(-1/t ) - 1
eller likvärdigt
y(t) = 7te^(1-1/t ) - 1
Integrerande faktor:
t^2y'(t)-(1+t)y(t)=1+t, y(1)=6
Skriv om som
y'(t) – (1+t)/t^2 y(t) = (1+t)/t^2
Låt
g(t) = – (1+t)/t^2 = –1/t^2 – 1/t
h(t) = (1+t)/t^2
G(t) = 1/t – ln(t)
e^{G(t)} = e^(1/t – ln(t)) = e^(1/t) * e^(– ln(t)) = e^(1/t) * 1/e^(ln(t)) = e^(1/t) * 1/t = e^(1/t)/t
e^{G(t)} y(t) = \int e^{G(t)}h(t) dt
\int e^{G(t)}h(t) dt = \int e^(1/t)/t * (1+t)/t^2 dt
Sätt 1/t=u
–1/t^2 dt = du
\int e^{G(t)}h(t) dt = \int e^(u)/(1/u) * (1+1/u)* 1/t^2 dt
men –1/t^2 dt = du dvs. 1/t^2 dt = –du
\int e^{G(t)}h(t) dt = \int e^u/(1/u) * (1+1/u)* (–du)
= – \int e^u*u*(1+1/u) du
= – \int e^u*(u+1) du
// Part int//
= – [ e^u(u+1) - \int e^u*1du ]
= – [ e^u(u+1) - e^u + C ]
= – ue^u + C
= – 1/t e^(1/t) + C
Alltså:
e^{G(t)} y(t) = – 1/t e^(1/t) + C
e^(1/t)/t * y(t) = – 1/t e^(1/t) + C
y(t) = –1 + C t e^(-1/t)
Fortsätt sedan som innan då C2 bestämdes, för att bestämma C.
Två sätt att lösa denna.
Ser rörigt ut, men det gör det mesta på FB när det gäller matematik... När exakt kan vi få LaTeX-parser inbyggt?
Edit: Ja, det blev väldigt snyggt... Not. Men du fattar nog var täljare och nämnare skall vara...
