*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

If f has a simple pole at z=c and T_r is the circular arc defined by T_r : z = c + re^(it), t_1 <= t <= t_2, then lim r->0+ Int{T_r} f(z)dz = i(t_2-t_1) Res(f;c).

Det resultatet.

Man kan skriva t.ex. ∫_{π/6}^{π/4} eller ∫ {från π/6 till π/4}.
Själv brukar jag ofta skriva "∫ ... där integralen går från π/6 till π/4".

Hej det är så att jag skulle behöva lite hjälp med följande uppgift. Hur ska jag lösa denna?

"vid försäljning av en viss sorts pennor utgår man ifrån att antalet sålda pennor per månad,y, beror på priset på pennan,x, enligt formeln y=800-20x bestäm nu den maximala intäkten per månad vid försäljning av dessa pennor"

Problemet är att med metoden du använder så räknar du ut integralen av integralen av f enligt typ

1) Följ den negativa reella axeln från -∞ till punkt -d
2) Följ den positiva reella axeln ut till +∞
3) Summera resultaten från 1) och 2)
4) Låt d gå mot 0.

Detta beräknar Cauchys principalvärde för integralen. Beroende på vad du ska ha värdet till så kan detta principalvärde vara precis det som behövs, men icke desto mindre är inte funktionen integrerbar i vanlig bemärkelse.

Otroligt skönt att vara tillbaka på forumet och räkna matematik efter att mer eller mindre varit borta härifrån ett år! Nu ska vi se om man är rostig i huvudet!

Såhär hade nog jag löst uppgiften:

y(x)=800-20x
y är alltså antalet sålda pennor, och x är priset per penna
Intäkten är alltså y*x
y*x=I <-> x(800-20x)=800x-20x^2=I

I(x)=800x-20x^2

Det där är alltså en funktion över intäkten, nu vill vi se när den är som störst. Vi deriverar och letar nollpunkten (maxvärdet).

I=800x-20x^2
I'=800-40x

800-40x=0
800=40x
x=20

x=20

När x=20 är alltså intäkten som störst, dvs när pennorna kostar 20kr st.

I(x)=800x-20x^2
I(20)=152000

Antalet sålda pennor/mån (y) beror på priset på pennan (x) enligt: y = 800 - 20x. Utifrån detta ska man bestämma maximala intäkten/mån?

Har du formulerat frågan rätt?

EDIT. Såg att c^2 löste uppgiften. Jag tolkade det fel.

Håller på med integraler och undrar om jag t ex ska ge integralen ett närmevärde hur vet jag vilka funktionsvärden jag ska använda?

Om jag har t ex v = sqrt(t) , 0 <_ t <_ 8

http://www.wolframalpha.com/input/?i=v+%3D+sqrt%28t%29%2C+0+%3C+t+%3C+8

Kunde inte använda <_ så notera

Du skriver så här: 0<=t<=8

Visa att (sin(2x)+cos(2x))^2 = 1+sin(4x).

Alltid varit riktigt sunkig på algebra; hur ska jag göra här?

Hmm ok. Jag tror frågan var specifikt att räkna ut pv, så då antar jag att jag gjorde rätt, och att läraren rättade rätt.


Integraler åsido, här är ett resultat vars bevis jag skulle behöva hjälp med i detalj. Jag har numrerat meningar så att siffran relaterar till föregående mening.

Theorem: Every subgroup of a cyclic group is cyclic.

Proof: Let G be cyclic with generator a s.t. G = <a>, and let H be any subgroup of G... If H is nontrivial, then it contains some element different from the identity, which can be written in the form a^n for some integer n =/= 0. Since a^(-n) = (a^n)^(-1) must also belong to H, we can assume that H contains some power a^k with k>0. (1)
Let m be the smallest positive integer such that a^m is in H (2). We claim that H = <a^m>. Since a^m is in H, we have <a^m> subset H, and so the main point is to show that each element of H can be expressed as some power of a^m. Let x be in H. Then since G = <a>, we have x = a^k for some k in Z. By the division algorithm, k = qm+r(3) for q,r in Z with 0<=r<m. Then x = a^k = a^(mq+r) = (a^m)^q a^r. This shows that a^r = (a^m)^(-q) x belongs to H (since a^m and x belong to H). This contradicts the definition of a^m as the smallest positive integer of a in H unless r=0.(4) Therefore k=mq and x=(a^m)^q is in <a^m>...

(1) Vad betyder detta, vad tillför det?

(2) Det sägs inget om huruvida G,H är finita eller infinita, så hur kan man anta att ett sådant m alls finns?

(3) Hur kom divisionsalgoritmen in i det hela? För mig för det tankarna till resultat som säger att ordningen av hitan och ditan delar ordningen av si och så, men alla såna resultat gäller för finita grupper, så det måste vara nåt annat. Tydligen delas k med m i beviset, men varför?

(4) "This shows that..." Målet är att visa att x kan skrivas som (a^m)^q för något q, och det uppnås om r=0. Jag tycker inte att man visar att r måste vara 0, bara att man uppnår önskat resultat om r=0.

Tack för svar.

(sin(2x)+cos(2x))^2 = 1+sin(4x)

Jag väljer att visa (sin(2x)+cos(2x))^2

(sin(2x)+cos(2x))^2
Första kvadreringsregeln (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
sin^2(2x)+2sin(2x)cos(2x)+cos^2(2x)
Trigonometriska ettan sin^2(a)+cos^2(a)=1
1+2sin(2x)cos(2x)
Formeln för dubbla vinkeln av sinus sin(2a)=2sin(a)cos(a)
1+sin(4x)

(1): Vi vet att a^n ∈ H för något n ≠ 0. Det finns egentligen två fall att betrakta:

(a) n > 0
(b) n < 0.

Egentligen så blir beviset typ samma sak i båda fallen, men man måste ändra på vissa ställen så att man säger negativ istället för positiv, och vänder på olikheter. För att slippa skriva ner samma bevis två gånger fast med små modifikationer väljer författaren att visa att man alltid kan hitta n > 0 så att a^n ∈ H.

Detta visas som följer:

I fall a) så existerar redan ett sådant n, och vi är klara.
I fall b) så kan vi ta n' = -n. Då är a^n' = a^-n = (a^n)^-1 ∈ H, och vi har att n' > 0. Så det funkar även i detta fall.

Alltså har vi visat att det existerar n > 0 så att a^n ∈ H, och kan fortsätta beviset i vetskap om att n > 0 (vilket alltså förenklar presentationen, och framförallt gör beviset tydligare eftersom folk har en tendens att bli förvirrade när jag kör divisionsalgoritmer och liknande med negativa tal.)


(2) Varje mängd av positiva heltal har ett minsta element. Detta är ekvivalent med induktionsaxiomet. Oavsett om du vet hur man bevisar det så borde det vara ganska uppenbart att det är så, om du tänker efter.

Här så tillämpas detta på mängden

S = {m' ∈ ℤ | m' > 0, a^m' ∈ H}

Denna mängd är icke-tom (eftersom vi innan visade att det existerar n > 0 så att a^n ∈ H), och alltså har den ett minsta element; låt m = min S.

(3) Tja, divisionalgoritmen används för att den funkar.

Jag tror att det är lättare att förstå beviset om man först föreställer sig det för specialfallet G = ℤ.

Så rita upp en bild av ℤ, som en rad av prickar.

Låt säga att vi ringar in de prickar svarandes mot punkter i H. Antag att H inte är trivial, och låt m vara den minsta positiva inringade pricken.

Jag hävdar nu att inga andra prickar än ... -2m, -m, 0, +m, +2m, ... kan vara inringade. (Detta är samma sak som att säga att H = <m>.) Beviset går som följer: Anta att det finns en till inringad prick k mellan två prickar längs med "följden" ..., -2m, -m, 0, +m, +2m, ..... Då måste k - m också vara inringad, för att H ska kunna vara en delgrupp. Då måste också k-2m vara inringad, och så vidare, och på samma sätt måste k+m, k+2m, k+3m, ... alla vara inringade.

Så vi får alltså en till följd av ..., k-2m, k-m, k, k+m, k+2m,... som alla måste vara inringade. Minst en av dessa måste ligga strängt mellan 0 och m. Men detta motsäger att m skulle vara det minsta positiva heltalet i H, och vi har en motsägelse.

Alltså finns inga inringade prickar utöver ..., -2m, -m, 0, m, 2m, ..., och alltså är H = {..., -2m, -m, 0, m, 2m, ... } = <m> och är alltså cyklisk.

Det är det kursiverade som använder divisionsalgoritmen. Jag skulle rekommendera att du först övertygar dig först om att det måste vara sant genom att leka runt lite med bilden och ringarna, för att sen förstå varför påståendet är samma sak som divisionsalgoritmen.

(4) Man visar alltså att man får en motsägelse om r inte är lika med 0. Detta visar (genom motsägelsebevis) att r = 0. Om man skulle varit övertydlig så skulle man nog kunna skriva:

By the division algorithm, k = qm+r(3) for q,r in Z with 0<=r<m.

Suppose r > 0.
Then x = a^k = a^(mq+r) = (a^m)^q a^r. This shows that a^r = (a^m)^(-q) x belongs to H (since a^m and x belong to H). This contradicts the definition of a^m as the smallest positive integer of a in H.

Therefore, r = 0. Thus k=mq and x=(a^m)^q is in <a^m>.