*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Ok. Nu fattar jag. Tack!

y'=1*sin(x)+x*cos(x)-sin(x)=x*cos(x)

Fick det rätt när jag integrera nu. Det jag undrar är om detta gäller:

int(f'_u)=f +g_1(v)
int(1/v)=u/v+g_2(v)

g(v) är en godtycklig funktion

Sedan flyttar man över g_1(v) och bakar ihop med g_2(v) till g_3(v)?

Det verkar korrekt, ja.

Lös följande ekvationssystem:
1)
(Partiell derivata som beror på x)
z(x)' = 2x+y
z(y)' = x+2y

Jag vill gärna räkna sådär:
z(x) = x^2 +xy+c
z(y) = y^2 +xy + c

z = x^2+2xy+y^2+d

Tror jag missat hela poängen någonstans (och boken förklarar inte sånt här tillräckligt bra)

2)
z(x)' = e^xy
z(y)' = e^xy

3)
z(x)' = ye^x
z(y)' = 1+e^x

Finns det någon generell metod för att lösa detta? Gör man samma sak då för t.ex.
u(x)' = y+3z-3
u(y)' = x+2z-2
u(z)' = 2y+3x-1

samt

dz/dx = 0 (d = partiell derivata)
Varför blir svaret z = g(y) ?

Tack

Hur fort måste en bil färdas för att smälta av friktionens värme? Är det något man ens kan räkna ut? Hjälp.

Menar du att däcken skulle bli så varma att de smälter?

1)

Jag skriver med annan notation, innebörden är densamma

(1) dz/dx = 2x + y
(2) dz/dy = x + 2y

(1) => z = x^2 + xy + F(y) där F(y) är en funktion som bara beror av y. I envariabelfallet får vi ju en integrationskonstant när vi integrerar, till exempel § x dx = x^2/2 + C, men när vi integrerar en flervariabelfunktion får vi en integrationsfunktion. Anledningen till det är ju att om:

z = x^2 + xy + F(y) så är dz/dx = 2x + y + dF/dx, men F berodde bara på y så dF/dx = 0.

För (2) på motsvarande sätt:

(2) => z = xy + y^2 + G(x) där G(x) är en funktion som bara beror av x. Nu har vi alltså två stycken ekvationer för z:

(1) z = x^2 + xy + F(y)
(2) z = y^2 + xy + G(x)

Nu måste dessa funktioner vara samma och alltså måste:

x^2 + xy + F(y) = y^2 + xy + G(x)

<=> x^2 + F(y) = y^2 + G(x)

Och vi ser att G(x) = x^2 + C medan F(y) = y^2 + C för att det ska gälla. Så vi har:

z = x^2 + xy + y^2 + C där C är en konstant.

2)

(1) dz/dx = e^(xy)
(2) dz/dy = e^(xy)

På samma sätt som i föregående uppgift:

(1) => z = (1/y) e^(xy) + F(y)
(2) => z = (1/x) e^(xy) + G(x)

<=> (1/y) e^(xy) + F(y) = (1/x) e^(xy) + G(x)
<=> e^(xy) * (1/y - 1/x) = G(x) - F(y)

Nu innehåller HL G(x) - F(y) som inte kan bli ett uttryck som e^(xy) eftersom G(x) bara beror av x och F(y) bara beror av y. Alltså är systemet olösbart, misstänker att du skrivit fel(?)

3)

(1) dz/dx = ye^x
(2) dz/dy = 1 + e^x

(1) => z = ye^x + F(y)
(2) => z = y + ye^x + G(x)

<=> ye^x + F(y) = y + ye^x + G(x)
<=> F(y) = y + G(x)

Nu måste F(y) = y + C och G(x) = C

alltså är:

z = ye^x + y + C

Generell metod: Ja! Säg att vi har funktionen:

u = u(x1,x2,...,xn) och vi har ett ekvationssystem:

du/dx1 = ...
du/dx2 = ...
.
.
.
du/dxn = ...

Så integrera funktionerna en i taget, säg att du integrerar du/dx1 då får du ju:

u = allt som berodde på x1 + V1(x2,x3,...,xn)
u = allt som berodde på x2 + V2(x1,x3,...,xn)
.
.
.

Och förhoppningsvis kan du lösa det systemet.

dz/dx = 0 => z = g(y), eftersom om z(x,y) är en funktion och du derivarer med avseende på x så är y en konstant i det fallet, till exempel är sin(y) att betrakta som en konstanta då. Så vi vet helt enkelt att z är en funktion av y enbart då.

Ja däcken eller karossen eller vad som.

Den här då....

Hur räknar man ut koordinaterna till vertexpunkten i andragradsfunktionen y=-3^2+12x-8 ??

Vertexpunkt är väl samma sak som extrempunkt? Om det är du sätter du derivatan = 0 och löser ekvationen. Det x-värdet sätter du in i originalfunktionen så får du ut koordinaterna.

Tror du har glömt skriva in ett x efter trean.