*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Från de där reglerna kan man härleda också dessa två regler

<v, w + u> = <v, w> + <v, u>
<v, kw> = konj(k)<v, w>

Den första av dessa regler ser det ut som du tillämpade i detta fall. Tar man det i princip regel för regel så får man att

<ψ1 + ψ2 + ψ3, ψ1 - 1/√(2) ψ2 + √(3/2)ψ3> = <ψ1, ψ1 - 1/√2 ψ2 + √(3/2) ψ3> + <ψ2 + ψ3, ψ1 - 1/√2 ψ2 + √(3/2) ψ3>

Nu kan den första termen utvecklas, med hjälp av de två reglerna jag skrev i detta inläg, på följande sätt

<ψ1, ψ1 - 1/√2 ψ2 + √(3/2) ψ3> = <ψ1, ψ1> + konj(-1/√2)<ψ1, ψ2> + konj(√(3/2))<ψ1, ψ3> = <ψ1, ψ1> - 1/√(2) <ψ1, ψ2> + √(3/2) <ψ1, ψ3> = <ψ1, ψ1> = 1

Den andra termen kan du göra ungefär samma sak med.

Som jag förstår uppgiften (jag tycker att den är lite otydligt formulerad), så menar dom att tillväxthastigheten kan beskrivas med

v(t) = 0.01 - 0.002/10 * t = 0.01 - 0.0002t

där t är tiden i år efter 2013, men detta är lite otydligt om det är detta dom menar. Så differentialekvationen bör bli

y' = (0.01 - 0.0002t)y,
y(0) = 7.1

Denna gissar jag på att ni inte lärt er hur man löser (vilket gör mig tveksam till om jag tolkar uppgiften rätt), men hursomhelst så har den lösningen 7.1e^(t(0.01 - 0.0001t)). Så efter 10 år så är befolkningsmängden ungefär y(10) = 7.1e^(10*(0.01 - 0.0001 * 10)) ≈ 7.77. Så 7.77 miljarder människor.

Eftersom det rinner ut mer vatten än vad som kommer in så är det inte 30000 liter vatten i tanken hela tiden. Utan mängden vatten är 30000 - 200t efter t minuter. Därför blir ekvationen

y' = 4.8 - 800y/(30000 - 200t),
y(0) = 0.

Jaha, min differentialekvation hade alltså varit riktig om utrinningshastigheten var lika stor som påfyllnadshastigheten?

Ja det hade den varit.

Och om det hade runnit in mer än vad det hade runnit ut skulle det blivit 30000 + 200t?

Tack, förstår verkligen. Aldrig tänkt på att in inte allt måste vara lika med ut.

Kan y = ax någonsin vara en ansats till en partikulärlösning? Det måste väl vara y ax + b eller motsvarande?

Ja precis. Om siffrorna hade varit det omvända, att det rinner in 800 liter/min och ut 600 liter/min, så är mängden vatten 30000 + 200t efter t minuter.

<ψ2 + ψ3, ψ1 - 1/√2 ψ2 + √(3/2) ψ3> = <ψ2 + ψ3> + konj(-1/√2)<ψ2, ψ3> + konj(√(3/2))<ψ1, ψ3> =

Känns som det är någon vajsing.

Hehe, ja det ser ut som det. Jämför detta med att multiplicera två parenteser. Säg om man skulle multiplicera dessa två parenteser, man får då att

(ψ2 + ψ3)*(ψ1 - 1/√2 ψ2 + √(3/2) ψ3) = ψ2ψ1 - 1/√(2) ψ2·ψ2 + √(3/2) ψ2 ψ3 + .... och så vidare

Enda skillnaden här är att man måste tänka på att man tar komplex konjugatet på de koefficienter som är i andra argumentet för den inre produkten. Så jämför uttrycket man får om man multiplicerar parenteserna med om man utvecklar uttrycket du har:

<ψ2 + ψ3, ψ1 - 1/√2 ψ2 + √(3/2) ψ3> = <ψ2, ψ1> + konj(-1/√(2))<ψ2, ψ2> + konj(√(3/2))<ψ2, ψ3> + <ψ3, ψ1> + konj(-1/√2)<ψ3, ψ2> + konj(√(3/2))<ψ3, ψ3>

Tur att det finns många uppgifter på detta så jag kanske hinner få kläm på det...

Den där harangen ser ut att bli 0. Vilket ger 1-0=1 dvs ej ortogonala.

Nu kanske jag ser fel, men det det går väl att förenkla till
konj(-1/√(2))<ψ2, ψ2> + konj(√(3/2))<ψ3, ψ3> = -1/√(2) + √(3/2) = (√(3) - 1)/√(2)