*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

En rabarberpaj tas ut ur ugnen kl 17.00. Vid det tillfället är pajen 10 minuter senare är den 80 grader
varm, och ytterligare 10 minuter senare är den 65 grader varm.

Hur varmt är det i köket?

Har försökt med Newtons avsvalningslag men får en väldigt komplicerad ekvation. Har hämtat uppgiften från en tenta och undrar: krävs det någonting som inte ingår i gymnasiekurserna?

Det enklaste är att skriva om funktionen på vanligt sätt som du gör när du bestämmer asymptoten. Sedan undersöker man de separata termerna för att avgöra i vilka intervall de ökar respektive minskar.

(x + 1)/(x-3) = (x - 3 + 3 + 1)/(x-3) = (x-3)/(x-3) + 4/(x-3) = 1 + 4/(x-3)

Det är sedan ganska lätt att se att funktionen inte är definierad för x = 3 och att den är minskande för x < 3 samt även minskande för x > 3. När x → ∞ så är gränsvärdet 1, vilket det även är då x → -∞. Från -∞ till 3 så är funktionen alltså 1 eller mindre (blir -3 och mindre för ett visst x < 3), sedan för x aningen större än 3 så har funktionen ett mycket stort, positivt värde. Man kan även lösa ut exakt vilket värde på x där funktionen har värdet 3

Gränserna för området där funktionens absolutbelopp är större än 3 ges sedan av [det x-värde där funktionen har värdet -3] till [det x-värde där funktionen har värdet 3], med undantag för punkten x = 3 där funktionen inte är definierad.

Man observerar vilka termer som finns i nämnaren. I det här fallet x-2. Då vill man alltså skapa i täljaren par av termer där man i den första har ett gradtal för x och i den andra har ett gradtal lägre, men med -2 gånger så stor koefficient. Första termen i den ursprungliga täljaren är x², så man behöver en term -2x för att få x² - 2x = x(x-2), vilket uppenbart kan förkortas mot (x-2) i nämnaren.

När man gjort det så är det högsta återstående gradtalet i täljaren 2x, vilket var vad man adderade för att kunna subtrahera 2x från x². Har man 2x så behöver man en term 2*(-2) = -4 för att få paret 2x - 4 = 2(x-2), vilket återigen går att förkorta mot (x-2) i nämnaren.

Poängen är alltså att addera och subtrahera samma sak på ett sätt som gör så att man får par av termer i täljaren som går att förkorta mot nämnaren.

Ett systematiskt sätt skulle kunna vara att först falluppdela så du får bort belopptecknet.
Skriv sedan om olikheten på formen f(x) - 3 > 0.
Efter det kan du derivera funktionen, göra en teckentabell, hitta de punkter då VL = 0 och använda teckentabellen för att hitta de x som resulterar i att VL > 0.

Det ser ut som lite information föll bort i uppgiften. Men jag testade att räkna lite på det och är ganska övertygad om att du inte behöver något som är utanför gymnasiekurserna.

Hjälp med geometriuppgift.

AB = AC+6
Finns det heltalsvärden på BM som upfyller detta?
Går det att bestämma BM?

Länk till figur:
https://www.pixeltopic.com/image/pnpexkngywysgn/

AMB bildar en rätvinklig triangel. Så man har att

|AB|² + |BM|² = |AM|²

samt att |CM| = |BM| och |AM| = |AC| + |BM|, så man får att

(|AC| + 6)² + |BM|² = (|AC| + |BM|)² = |AC|² + 2|AC||BM| + |BM|² ⇔
|AC|² + 12|AC| + 36 = |AC|² + 2|BM||AC|

Så man får att

12|AC| + 36 = 2|BM||AC| ⇔
(|BM| - 6)|AC| = 18 ⇔
|BM| = 18/|AC| + 6

så om du väljer |AC| till en divisor till 18 bör du få ett heltal på |BM| som löser problemet.

En rabarberpaj tas ut ur ugnen kl 17.00. Vid det tillfället är pajen 100 grader. 10 minuter senare är den 80 grader varm, och ytterligare 10 minuter senare är den 65 grader varm. Hur varmt är det i köket?

Vi har: y(0) = 100, y(10) = 80 och y(20) =65.

y' = -k(y - T0) där T0 är rummets temperatur

y' = -ky + KT0 => y' + ky = kT0 => y_h = C*e^(-kt)

y_p = B => y_p' = 0 => 0 = -kB + BT0 => y_p = T0

y_h + y_p = C*e^(-kt) + T0

y(0) => C = 100 - T0

{(100-k)e^(-10k) = 80 (a)
{(100-k)e^(-20k) = 65 (b)

Kan se det ovan som ett ekvationsystem:

ur (a) ges (100 - T0) = 80/(e^(-10k))

Stoppar in detta i (b) och får:

80e^(-10k) = 65 som ger k = 0,0207...

Hur ska jag nu bestämma T0?

Det är bara att sätta in det värde du fått ut för k i antingen (a) eller (b) så kan du räkna fram värdet på T₀. Om du räknar rätt så ska du få samma värde på T₀ ur både (a) och (b).

Insåg det. Har inget facit till uppgiften. Kan du se om det stämmer?

(100 - T₀)*e^(-10*0,0207) = 80 => T₀ = 1,24 grader vilket inte verkar jätterimligt.

Det ser ut som något inte har blivit helt rätt skulle jag tro. Du har ekvationssystemet

C + T0 = 100,
Ce^(-10k) + T0 = 80,
Ce^(-20k) + T0 = 65

Första ekvationen ger att T0 = 100 - C så man får att de två andra ekvationerna blir

C(e^(-10k) - 1) = 80 - 100 = -20, (a)
C(e^(-20k) - 1) = 65 - 100 = -35, (b)

Dividera ekvationerna med varandra så får man att

(e^(-10k) - 1)/(e^(-20k) - 1) = 20/35 ⇒
35e^(-10k) - 35 = 20e^(-20k) - 20 ⇔
20e^(-20k) - 35e^(-10k) + 15 = 0 ⇔
4e^(-20k) - 7e^(-10k) + 3 = 0

Om man låter x = e^(-10k) så kan denna ekvation skrivas som

4x² - 7x + 3 = 0, 0 < x < 1

notera nu också att C = -20/(x - 1) vilket fås ur ekvation (a) och T0 = 100 - C = 100 + 20/(x - 1). Så löser du andragradsekvationen så kan du sätta in lösningen i formeln T0 = 100 + 20/(x - 1) så får du yttertemperaturen. (Jag är inte allt för förvånad om jag har gjort något slarvfel i lösningen).

tackar!