Citat:
Ursprungligen postat av manne1973
G(-1) = 0, G(0) = i, G(1) = inf, så i w-planet bord du ta punkterna 0, i och inf.
Ok? Men hur får man fram G in the first place, och varför är punkterna viktiga i sig, varför räcker det inte med att ordningen är riktig?
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
1. Let f,g be analytic in a neighborhood of z_0 and assume g has a 2nd order zero at z_0. Show that
Res(f/g;z_0) = (6f' g'' - 2f g''')/(3(g''))^2. (samtliga för z_0, för tidssparande)
Facit: blablabla Since g(z) is analytic in a neighborhood of z_0 and has a zero of order two at z_0 the function g(z) has a power series expansion g(z) = Sum{2,inf} b_k (z-z_0)^k, b_k = (1/k!)g^(k)(z_0).
Jag får verkligen ingen ordning på detta. Enligt kursboken så gäller dels att Laurent-serien för en funktion med pol av ordning ser ut som f(z) = a_(-m)/(z-z_0)^m + a_-(m-1)/(z-z_0)^(m-1) + ..., samt att en funktion har en pol av ordning m omm f(z) = g(z)/(z-z_0)^m med g analytisk och g(z_0)=/=0.
Ja, detta applicerat på funktionen g ger först nödvändigtvis att g(z) = h(z)/(z-z_0)^2, h(z) som ovan. Eftersom h(z) är analytisk har den en Taylorutveckling b_0 + b_1 (z-z_0) + ... Om man sätter in utvecklingen för h i uttrycket för g får man att g(z) = b_0/(z-z_0)^2 + b_1/(z-z_0) + b_2 + b_3(z-z_0) + ... = Sum{-2,inf} b_(k+2) (z-z_0)^k =/= Sum{2,inf} b_k (z-z_0)^k. Vad gör jag för fel?
2. Find a Möbius transformation mapping the half-plane Im z > 0 onto the disc |w-1|<2 and such that f(i)=1, f(-1)=3.
Facit: ... The point symmetric to the point 1 wrt the circle |w-1|=2 is the point inf.
Om symmetrisk = linjen mellan 1 och vald punkt är ortogonal mot cirkeln, så måste det väl gälla att alla punkter är "symmetric to the point 1 wrt the circle"?
Res(f/g;z_0) = (6f' g'' - 2f g''')/(3(g''))^2. (samtliga för z_0, för tidssparande)
Facit: blablabla Since g(z) is analytic in a neighborhood of z_0 and has a zero of order two at z_0 the function g(z) has a power series expansion g(z) = Sum{2,inf} b_k (z-z_0)^k, b_k = (1/k!)g^(k)(z_0).
Jag får verkligen ingen ordning på detta. Enligt kursboken så gäller dels att Laurent-serien för en funktion med pol av ordning ser ut som f(z) = a_(-m)/(z-z_0)^m + a_-(m-1)/(z-z_0)^(m-1) + ..., samt att en funktion har en pol av ordning m omm f(z) = g(z)/(z-z_0)^m med g analytisk och g(z_0)=/=0.
Ja, detta applicerat på funktionen g ger först nödvändigtvis att g(z) = h(z)/(z-z_0)^2, h(z) som ovan. Eftersom h(z) är analytisk har den en Taylorutveckling b_0 + b_1 (z-z_0) + ... Om man sätter in utvecklingen för h i uttrycket för g får man att g(z) = b_0/(z-z_0)^2 + b_1/(z-z_0) + b_2 + b_3(z-z_0) + ... = Sum{-2,inf} b_(k+2) (z-z_0)^k =/= Sum{2,inf} b_k (z-z_0)^k. Vad gör jag för fel?
2. Find a Möbius transformation mapping the half-plane Im z > 0 onto the disc |w-1|<2 and such that f(i)=1, f(-1)=3.
Facit: ... The point symmetric to the point 1 wrt the circle |w-1|=2 is the point inf.
Om symmetrisk = linjen mellan 1 och vald punkt är ortogonal mot cirkeln, så måste det väl gälla att alla punkter är "symmetric to the point 1 wrt the circle"?
Fortsätter bumpa och lägga till.
3. Suppose that f is analytic in all of C except at the origin, and that lim z->inf f(z) exists. Suppose in addition that |f(z)|<=M|z^(-1)| for some positive M, and all z in some neighborhood of 0. Two values of the function are given: f(1)=0, f(2)=1. Determine the function f(z).
Facit: It follows from the conditions on f that g(z) = zf(z) has a removable singularity at the origin and satisfies the estimate |g(z)|<=A+B|z| for some positive A,B...
Hur får man fram att g uppfyller det där estimatet?
4. Let D = {z : 0<Arg z<pi/3}. Determine an injective conformal map of D onto the interior of C\D.
Facit: The interior of set C\D can also be written as D1 = C\D = {z : pi/3 < Arg z < 2pi/3 }. The map z->z^5 maps D onto a region with the same shape as D1...
Hur får man fram att den gör det???
