*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Har ett problem på en integraluppgift som lyder så här: Bestäm arean av det åndliga område som begränsas af kurvan y=4x-x^2 och linje y=4-x

Jag ritar upp kurvan och ser att den skär vid 1 och slutar vid 4.
4
∫(4x-x^2)dx = [((4x^2)/4) - ((x^3)/3)] =
1

= ((4*4^2)/4) - ((4^3)/3) = 16-21,33
= ((4*1^2)/4) - ((1^3)/3) = 1-0,33

==(16-21,33)-(1-0,33) = -6

Har jag gjort rätt?

Låt f(x)=x^2−6x+7 och låt g(x)=x^3+6x+6. Låt sedan h(x)=f(g(x)) och bestäm h'(0).

Här förstår jag att man ska nyttja kedjeregeln och h'(x) blir yttre derivatan multiplicerat med den inre derivatan. Men hur skriver man uttrycket?

Förstår att h(x) INTE skrivs såhär ((x^2−6x+7)(x^3+6x+6)) i alla fall.

Överallt där det står ett x i f(x) skall du skriva g(x) istället. Om du tittar på skillnaden mellan f(x) och f(g(x)) så är den enda skillnaden att istället för ett x så står det g(x) istället. Överallt där du då har ditt x skall du skriva g(x) istället för x. Eftersom g(x) i sig är ett uttryck så väljer man alltså att skriva det uttrycket.

Då vi har:

f(x) = x²-6x+7
g(x) = x³+6x+6

Får vi:

f(g(x)) = (x³+6x+6)²-6(x³+6x+6)+7

Dock istället för att beräkna hela skiten här så finns det ett fiffigare sätt. Nämligen implicit derivering.

Vi vet att enligt kedjeregeln:

(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)

Vi behöver då bestämma:
f'(x), och sedan stoppa in g(x) där.
och g'(x) och multiplicera detta med f'(g(x)).
Efter detta så tittar vi på f'(g(x))·g'(x) och skriver noll överallt där det står ett x, eftersom vi skulle beräkna h'(0)

(skippar (x) för läsbarhet) h=f(g)=g²-6*g+7=(x³+6x+6)²-6*(x³+6x+6)+7
h'(x)= 6*(x⁵+8x³+3x²+12x+6) h'(0)=6(0⁵+8*0³+3*0²+12*0+6)=36

Finns säkert snitsiga genvägar, men det är inte så knepiga deriveringar..
Edit: se ovan för snitsig genväg

Rita inte upp kurvan för att se skärningspunkterna, utan lös ekvationssystemet. Om du vill ställa frågan var två funktioner skär varann så sätter du funktionerna lika med varann. För då ställer man frågan, för vilka x är dessa funktioner exakt lika? Det är det lösningen på ekvationen anger. Vi kan då prova detta.

Jag namnger också funktionerna:

f(x) = 4x-x²
g(x) = 4-x

För att lättare kunna tala om dessa.

När är (för vilka x är?):

f(x) = g(x)
4x-x² = 4-x
-x² = 4-5x
0 = 4-5x+x²

Nu kan vi använda pq-formeln för att lösa ut dessa skärningspunkter.

Löser ekvationen:

x²-5x+4 = 0

Efter gjord lösning (gör detta om du är osäker) så ser vi att

x₁ = 1
x₂ = 4

Då vill vi veta arean mellan dessa grafer av funktioner. Då är integrering ett kraftfullt verktyg. Eftersom funktionerna endast skär varandra där x = 1 och där x = 4, så vet vi att en funktion kommer alltid vara större än den andra mellan x-värdena 1 och 4. Det tror vi på. Då finns det en formel som säger att.

∫övre funktion minus undre funktion = arean av området!

Självklart skall integrationsgränserna vara från 1 till 4. Jag vill lösa den obestämda integralen, för att sedan stoppa in mina värden, det blir mycket mer hanterbart då tycker jag. Men allra först måste jag bestämma vilken funktion som är "störst" eller högst, dvs överst i detta intervallet. Då väljer jag en godtycklig punkt i intervallet, dvs mellan 1 och 4 och kollar vilken som har störst värde. Jag väljer då 2.

Våra funktioner är:

f(x) = 4x-x²
g(x) = 4-x

Bestämmer då f och g av 2:

f(2) = 4·2-2² = 8-4 = 4
g(2) = 4-2 = 2

Då vet vi att f är den övre funktionen och g den undre, eftersom 2 ligger i intervallet vi vill mäta på.

Då skall vi bestämma arean:

∫f(x)-g(x) dx =
∫4x-x²-(4-x) dx =
∫4x-x²-4+x dx =
∫5x-x²-4 dx =

Steget nedan kanske du kommer tycka är överflödigt, men det hjälper otroligt mycket om man arbetar med svårare integraler. Om du vill göra precis så här är upp till dig, egentligen gör du så redan i huvudet, då du behandlar de termvis, men det är lika bra att skriva upp alla operationer man gör, det minskar slarvfel och man får bättre förståelse för vad som händer.

∫5x dx -∫x² dx -∫4 dx = [eftersom integralen av en summa är lika med summan av integralerna]
5∫x dx -∫x² dx -4∫1 dx = [faktoriserar konstanter]
5(x²/2) -∫x² dx -4∫1 dx =
5(x²/2)-(x³/3)-4∫1 dx =
5(x²/2)-(x³/3)-4x

Jag skriver heller inte med +C här eftersom vi ändå skall beräkna en bestämt integral, dvs den mellan 1 och 4 i vilket fall. Då försvinner C och det är alltså onödigt.

Nu skall vi utnyttja insättningsformeln för integraler och den säger att om vi skall integrera från 1 till 4, så blir värdet av den bestämda integralen F(4)-F(1) om F är en primitiv funktion till funktionen vi skall integrera.

Sätter in gränserna:

[5(x²/2)-(x³/3)-4x]₀^⁴ = 5(4²/2)-(4³/3)-4·4-5(1²/2)+(1²/3)+4·1 = 9/2

Svar: 9/2

Var så god!

Han/hon klarar nog av att lösa den om denne får sitta med den själv. Det är otroligt svårt att svara på sådana här frågor direkt, live, utan att först ha gjort uppgiften.

Frågan är bara hur snygg och bra lösningen blir. Meningen är ju att eleven som blir presenterad för lösningen skall förstå alla steg också.

Fyfan vilken bra post som alltid tror jag förstod mycket mer än lite.

Fram till f(g(x)= (x³+6x+6)²-6*(x³+6x+6)+7 -Inga problem.

Sen är jag totalt lost, har suttit och försökt ta inner och ytterderivator av uttrycket och förenkla till ett enda uttryck men det springer iväg direkt och blir parenteser gånger ännu flera parenteser! Var lite mer utförligt är du bussig!

Hur löser man (1+x)^5=4 ?

Förlåt, men hur går jag tillväga för att lista ut den ansatsen? (och för den delen, vad gör jag med den?)

( xy'(ln(x/y)+1) = y(ln(x/y)-1) )

upphöj båda led med 1/5 och subtrahera sedan båda led med 1.

alltså ((1+x)^5)^(1/5))=4^(1/5) ⇔ 1+x=4^(1/5)

sen 1+x-1=4^(1/5)-1 ⇔ x≈0.32

nice, tack.