*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

-cos v = -sin(v+90)?

Javisst,

Och vad är då -cos(x-10º) ?

x^{ln(x)/x}

Hur hittar man dess värde-och-definitionsmängd?


Hade vi tex x^{2/3}e^{-x} så är ju funktionen f(x) definerad i alla punkter x tillhör R. Eftersom funktionen innehåller en produkt av två positiva tal - en kvadrat och en exponential - så kommer
alla värden att ligga ovanfor x-axeln. Och faktorn x^{3/2} är ju obegränsad uppåt. Så värde-och-definitionsmängderna är ju

Df =] 1;∞[
Vf = [ -∞;∞[

Men vet inte riktigt hur jag skall göra med den ovan.



Jag började med att den är x^{lnx/x} = e^{lnx*(lnx/x)}=e^{lnx^2/x}. Då vet ju att eftersom vi har x^2 i exponent-täljaren. så kommer den alltid bli positiv, men x i exponent-nämnaren kan ju fortfarande bli negativ. Så hela exponenten kan bli både positiv och negativ. Men den får absolut inte vara 0. Eftersom ngt/0 är inte definerat.

Sedan så vet vi ju att Om exponent a är negativt tal men inte heltal då är a^x definierad för alla x>0.

Vad kan man säga att min värde-och-definitionsmängd är då?

Den gäller för alla x<0.

Df = ]-∞;∞[
Vf = [ 1;∞[

Jättevild gissning här.

ln(x) är bara definierad för x > 0.
1/x är bara definierad för x ≠ 0.
Alltså, ln(x)/x är bara definierad för x > 0.

x^u är bara definierad för x > 0 om u inte endast löper över heltal.
Med u = ln(x)/x så löper u inte bara över heltal.
Alltså, x^u, är bara definierad för x > 0.

Vi kan nu sluta oss till att x^{ln(x)/x} bara är definierad för x > 0.


För att hitta värdemängden måste vi söka max och min. Vi gör det som vanligt genom att derivera:

f(x) = x^{ln(x)/x} = (e^{ln(x)})^{ln(x)/x} = e^{ln(x)²/x}

f´(x) = e^{ln(x)²/x} · (2 ln(x)/x · x - ln(x)² · 1)/x² = x^{ln(x)/x} · (2 ln(x) - ln(x)²)/x² = 0
då ln(x) = 0 eller ln(x) = 2, dvs då x = 1 eller x = e².

f(1) = 1^{ln(1)/1} = 1
f(e²) = (e²)^{ln(e²)/e²} = (e²)^{2/e²} = e^{4/e²}

Vi måste även undersöka gränsvärden:
lim_{x→0+} f(x) = lim_{x→0+} e^{ln(x)²/x} = e^{lim_{x→0+} ln(x)²/x} = e^{+∞} = +∞
lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} e^{ln(x)²/x} = e^{lim_{x→+∞} ln(x)²/x} = e^{0} = 1

Eftersom e^{ln(x)²/x} är kontinuerlig för x > 0 antas helt klart värden mellan 1 och +∞ (1 inkluderad). Och eftersom 4/e² > 0 gäller att e^{4/e²} > 1, så denna stationära punkt ligger inte under 1.

Alltså är värdemängden [1, ∞).

Och ritar man upp grafen för funktionen finner man att den vid små positiva tal kommer uppifrån +∞, når ett lokalt minimum vid x = 1, stiger till ett lokalt maximum vid x = e² och sedan långsamt avtar igen ned mot värde 1.

Kan någon förtydliga denna partiella integration?

∫x^2 * e^(-x^2)dx = ∫xe^(x^2)x dx = {partiell integration} = [-(1/2)e^(-x^2)x] + ∫(1/2)e^(-x^2)dx = (1/2)√pi

Sista steget är en gaussisk integral, det är jag med på. Det är själva partiella integrationen som jag inte förstår. Det ser ut som att de väljer ena funktionen till x och den andra till e^(x^2)x men jag kan inte se hur det kan bli som det blir i sådana fall.

Skulle behöva hjälp med följande uppgift: Vilket/vilka plan tangerar ytan S given av x^2+3yz = y^2 + z^2 + 10, är parallella med y-axeln och skär x-axeln i en punkt med x-koordinat 2sqrt(5)? Ange också tangeringspunkterna.

Har tagit fram gradienten men vad gör man sen?

Vad är det för gränser på integralen? 0 till ∞?

Kan någon ge mig en motivering till varför tan(x/2) ≥ x/2 då x → 0⁺?

Då pi/2 > x > 0 så gäller det att

tan(x/2) = sin(x/2)/cos(x/2) > sin(x/2) ≥ x/2.

Den sista olikheten är en "standard" olikhet.

Men säg att det är med gränserna -∞ till ∞ (det verkar stämma överens med svaret)

Vi har ∫x^2 * e^(-x^2)dx

Väljer nu f(x)=xe^(-x^2) och g(x)=x

Partiell integration ger då

[F(x)g(x)] - ∫F(x)g'(x)dx där F(x)=e^(-x^2)/2 och g'(x)=1

Då får vi precis [-(1/2)e^(-x^2)x] + ∫(1/2)e^(-x^2)dx som du skrivit.

Kollar vi nu på [-(1/2)e^(-x^2)x] med gränserna -∞ till ∞ får vi att

lim R->∞ [-(1/2)e^(-x^2)x] med gränserna -R och R =0 (verifera själv att detta stämmer)

Alltså har vi bara kvar ∫(1/2)e^(-x^2)dx=(1/2)√pi

-∞ till ∞

Yes. Se mitt svar ovan