*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Naturliga tal brukar betecknas ℕ. Hur definitionsmängd betecknas skulle kunna vara olika i olika böcker. Du får kolla om din bok skriver någonstans vad de menar med D_r.

De använde inte just ℕ utan N men det ser nästan likadant ut, förutom att den förstnämnda är mycket grymmare

Tack iallafall!

I min matematikbok har jag börjat med gränsvärden och det är jättesvårt. I ett exempel så ska man beräkna gränsvärdet för funktionen f(x)=(x^2)/(x^3-x^2) då x går emot oändligheten.

Först gör jag såhär:

f(x)=(x^2)/(x^3-x^2)=(x^2)/(x^2(x-1))=1/(x-1).

Vilket innebär att:

lim x→∞ (x^2)/(x^3-x^2)=lim x→∞ 1/(x-1) = 0

Vilket jag inte fattar hur det blir 0? När x går emot oändligheten trodde jag man bytte ut x emot 0 och då blir svaret -1? 1/(0-1) = -1?

Nä, om x går mot oändligheten ska du ju "byta ut" x mot "oändlighet". Du får alltså något i stil med:

"1 / (∞ - 1) = 1 / ∞ = 0"

Byta ut x mot noll gör man om x går mot noll (om det inte blir division med 0). Om man väljer ε>0 godtyckligt och låter x vara större än 1/ε+1 så är

x-1>1/ε

1/(x-1)<ε

Det innebär att 1/(x-1)→0 då x→∞

Oändligheten -1, vad är det?

Men det är så konstigt i ett exempel i boken byter de ut x emot 0 när x går emot oändligheten, såhär:

lim x→∞((2/x)-3)/(1+(1/x^2))=(0-3)/(1+0)=-3

De byter ut 2/x och 1/x^2 mot 0.

Jaha.

Innebär det då att allt som har med oändligheten att göra kan jag föreställa mig blir 0 som ett resultat? Om man adderar/subtrahera/dividera/multiplicera något med ∞ så blir det alltså 0 kvar?

Om man dividerar ett reellt tal med något som går mot oändligheten så blir gränsvärdet noll. Att addera och dividera med oändlighet är något man iofs kan göra i det s.k. utökade reella talsystemet, men med det bör göras med största försiktighet och rekommenderas bara om man är väldigt bra på gränsvärdesberäkningar.

Nja, 1/x och 1/x^2 går faktiskt mot 0 då x → ∞.
Tänk på att 1/5 är ganska litet. 1/1000 är ännu mindre. 1/x → 0 då x → ∞.

Okej!

Så i ekvationen min bok hade gett som exempel, när de bytte ut de talen som hade med ∞ att göra till 0 så är 0 gränsvärdet av de talen?

Jag tänker på det att 2/x blev ersatt med 0.

Ja, 2/x och 1/x^2 har båda gränsvärdet 0 när x går mot oändligheten.