*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Jag skulle rekommendera dig att använda additionsmetoden i aktuellt matteexempel.

Okej, tack!

Har inte kommit så långt i boken än, så det förklarar varför jag inte kunde lösa problemet

Det går såklart att lösa uppgiften med hjälp av substitutionsmetoden också, som du hade påbörjat med, men det blir betydligt bökigare.

När du löst ut att y = (-2x/7) + 8/7) så sätter du in det värdet för y i den andra.

Dvs 9*((-2x/7) +(8/7)) = -5x + 3

(-18x/7) + (72/7) = 5x + 3

Multiplicera hl med 7 så alla bråk får samma nämnare.

(-18x/7) + (72/7) = (-35x/7) + (21/7)

17x= -51

x = -3
y = 2

x = aˣ har inga lösningar för a > 1, eller hur?

Mitt resonemang: y=aˣ är strängt växande för a>1 och alla x. y=x är också strängt växande men y=aˣ "växer snabbare" och kommer därför aldrig att skära y=x. Alltså ingen lösning.

Som ni ser saknas ett formellt matematiska bevis, hoppades att ni skulle kunna hjälpa mig omvandla intuitionen till stringens.

Nej, y=aˣ växer inte snabbare än x för alla a > 1

Se här för ett exempel med två lösningar

Gränsvärdet för när det inte finns några lösningar till x = a^x är då a = e^(1/e) = 1.4447

Om a = e^(1/e) så är x=e en dubbelrot till ekvationen x = a^x

a^e =(e^(1/e))^e = e^(e/e) = e^1 = e

{7y=-2x+8
{9y=-5x+3

Multiplicera in 5 i det övre talet:

5*7y=5(-2x+8)

Vilket ger:

35y=-10x+40

Multiplicera in -2 i det undre talet:

-2*9y=-2(-5x+3)

som då blir:

-18y=10x-6

Addera nu ihop det övre talet med det undre:

35y-18y=(-10x+40)+(10x-6)

Resultatet blir då följande:

17y=34

Detta visar att y=2.

Sätt nu in y, dvs 2 i ett av ursprungstalen:

7y=-2x+8

7*2=-2x+8

14=-2x+8

Byt plats med 14 och -2x, vilket också innebär teckenförändring framför respektive siffra:

2x=8-14

2x=-6

x=-3

Svar: x=-3 och y=2

Klart!

Var går gränsen då? Verkar vara strax över a>sqrt2 men återigen är det magkänsla. Och för vilka a har aˣ=x en lösning? 0<a<1 tror jag definitivt men det kanske ska utökas till 0<a<~sqrt2?

Jag har kompletterat mitt svar. Gränsen går vid a = e^(1/e) = 1.4447...

Bild

Jätteschyst! Hur kommer man fram till det? Som du minns hade jag inte riktigt problem med intuitionen men desto större problem med att bevisa det matematiskt... Jag tänker omskrivning med av båda leden med ln, rätt eller fel? En knuff i rätt riktning uppskattas.

Ja, det är en bra början.

[;
\\
x = a^x
\\
\ln x = \ln{a^x} = x\cdot \ln a
\\
\ln a = \frac{1}{x}\cdot \ln x
;]

sök det största möjliga a genom att derivera och sätt derivatan till 0

[;
\\
-\frac{1}{x^2}\cdot \ln x + \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x} = 0
\\
\frac{1}{x^2} (-\ln x + 1) = 0
\\
-\ln x + 1 = 0
\\
x = e
\\
\ln a = \frac{1}{x}\cdot \ln x = \frac{1}{e}\cdot \ln e = \frac{1}{e}
\\
a = e^{1/e} \approx 1.4447
;]

Bestäm lutningen för kurvan y = 3x^(2) - 4x +3 i punkten då x = 2

Jag fick k = 7

men facit säger att det är k = 8