*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hur gör man här då? http://img5.imageshack.us/img5/1587/namnlsgj.png

x⁻² betyder 1/x²

sin(t) = t - t^3/6 + O(t^5)
ln(1+t) = t - t^2/2 + O(t^3)

sin(t) ln(1+t) = (t - t^3/6 + O(t^5)) (t - t^2/2 + O(t^3))
= t^2 - t^3/2 + O(t^4)

sin(t) ln(1+t) / t^2 = 1 - t/2 + O(t^2) -> 1 då t -> 0

arctan(sin(t) ln(1+t) / t^2) -> arctan(1) = pi/4

Taylorutveckla sin t och ln 1+t kring t = 0 och se om du märker något användbart.

Du har glömt att det skall vara e^3x i den andra termen, och därmed e^(3pi/4) i den andra termen, i det fetstilta ovan. Annars är du på rätt väg.

Eftersom arctan är en kontinuerlig funktion:

(sin(t)·ln(1 + t))/t² = sin(t)/t·ln(1 + t)/t → 1·1 = 1 då t → 0

Så arctan((sin(t)·ln(1 + t))/t²) → arctan1 = π/4 då t → 0

Inget fel med att utveckla som ovan, men man behöver inte det om man inte vill.

Ja just fan. Då är det ju bara att använda standardgränsvärden egentligen. Fiffigt.

...

Hej. En fråga till de kunniga .

Om jag har
1/(1-(x^2)/4)
och ska integrera får jag med substitution göra

t = -x/2
t^2 = -(x^2)/4)

och sen gå vidare med 1/(1+t^2)?

Det är själva delen med minustecknet som jag fundera om man får ta in i substitutionen.

Om t = -x/2 så blir t^2 = (-x/2)^2 = x^2/4, inte -x^2/4. Om du är bekväm med komplexa tal kan du substituera t=ix/2 vilket ger dig t^2 = -x^2/4 som önskat. Annars får du helt enkelt utnyttja att ∫dx/(1-x^2) = (ln(1+x) - ln(1-x))/2 rakt av (vilket du har nytta av efter din substitution t = -x/2, eller lika gärna t = x/2).

Edit: strunta i mig, partialbråksuppdelning är naturligtvis betydligt bättre!

Nix, (-x/2)² = x²/4 och inte -x²/4. Däremot ser den där ut att kunna partialbråksuppdelas, i och med att 1-x² = (1-x)(1+x).

Du kan inte lämna minustecknet utanför. Alla kvadrater är icke-negativa, såldes är t^2 = x^2/4. Då kan vi lika gärna sätta t = x/2 som ger dt/dx = 0.5 => dx = 2 dt
∫1/(1-t^2) 2 dt = 2∫1/(1-t^2) dt
Använd att D arctanh(x) = 1/(1-x^2) alltså får vi primitiva funktionen 2arctanh(t) + C och byter vi tillbaks fås således 2arctanh(x/2) + C
Du kan använda att arctanh(x) kan definieras enligt
arctanh(x) = 0.5ln((1+x)/(1-x)) som ger
2arctanh(x/2) = ln(x+2)-ln(2-x)