*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Jag har två frågor angående gränsvärden.
Fråga ett:
Jag ska beräkna gränsvärdet för f(x)=x/lnx då x-->0+ och jag blir väldigt osäker här:
När nämnaren går mot noll så blir ln(x) först ett negativt tal då x<1 för att till slut bli odefinierad. Vad gäller x så händer inget konstigt alls, det närmar sig bara noll. Det som dock händer är att den precis innan nollan sticker iväg mot oändligheten (osäker här) och att vi därför får ett tal som blir 0/oändligheten. Förstår inte alls tankesättet här.

Fråga två:
f(x) = lnx/x då x-->0+, vilket är en extrem snarlik uppgift. Förstår inte heller alls hur man gör här.

Fråga tre:
f(x) = xlnx då x--> 0+. I mitt tycke är den här något lättare, eftersom att det blir noll gånger någonting, så kommer det att gå mot noll. Tänker jag rätt här?
alltså:
0,1 * ln0,1 = -0,23
0,01* ln0,01 = 0,046

x/ln(x) blir "+0/(-∞)" som blir -0.
Man kan använda L'Hôpitals regel: lim x/ln(x) = lim 1/(1/x) = lim x = 0.

Omvänt:
ln(x)/x blir "(-∞)/+0" som blir -∞.
Även här kan man använda L'Hôpitals regel: lim ln(x)/x = lim (1/x)/1 = lim (1/x) = +∞.

Sista är egentligen svårast eftersom man får "0*(-∞)" som är odefinierat.
Men vi kan använda L'Hôpitals även här:
lim x ln(x) = lim ln(x)/(1/x) = { av formen "-∞/+∞" så att regeln kan användas }
= lim (1/x)/(-1/x²) = lim (-x) = 0.

Det här är väl mer en filosofiskt tankesätt(och har inget med matematik att göra) men vad är skillnaden på -0 och +0? Vill bara se förstå du ser på detta.

Notera att lnx → -∞ då x → 0+ och lnx → ∞ då x → ∞

För lnx/x då x → 0+ sätt t = 1/x vilket ger att t → ∞ och vi har ln(1/t)/(1/t) = t·ln(1/t) = t(ln1 - lnt) = t·(0 - lnt) = -t·lnt → -∞ då t → ∞.

För x/lnx då x → 0+ sätt t = 1/x vilket ger att t → ∞ och vi har (1/t)/ln(1/t) = 1/(t·ln(1/t)) = 1/(t·(ln1 - lnt)) = -1/(t·lnt) → 0 då t → ∞.

För x·lnx då x → 0+ sätt t = 1/x vilket ger att t → ∞ och vi har (1/t)·ln(1/t) = ... = -lnt/t → 0 då t → ∞ eftersom t växer snabbare än lnt då t → ∞.

Du har rätt; det finns inga -0 och +0, bara 0. Bättre hade varit att skriva 0- och 0+ för att markera att 0 närmas från vänster respektive från höger på samma sätt som man skriver x → 0- och x → 0+.

Alltså, om x → +∞ så gäller 1/x → 0+ och tvärtom.

Tackar!
Blir till att repetera l'hopital!

Rekommenderar varmt https://www.khanacademy.org/math/calculus/derivative_applications/lhopital_rule/v/introduction-to-l-hopital-s-rule

Tänkte köra lite derivata idag men körde fast direkt.

Derivera x^4 Cos(y) - 5 x^2 y^3 = -10 med avseende på x.

Produktregeln använder jag på x^4 Cos(y) och får 4x^3 Cos(y) - Sin(y) 4x^3 sen gör jag väl samma med 5 x^2 y^3? Dock blir allt rätt skumt när jag gör det.

Nej, allt som bara innehåller y betraktar du som konstanter när du deriverar m.a.p. x. Första termen blir t.ex. bara 4x³cos(y).

(Om inte y är en funktion av x i sammanhanget, då blir det kedjeregler och grejer istället.)

Hur gör jag i andra termen? Den ska enligt facit bli - 15y^2 (dy/dx) x^2 - 10 y^3 x.

x⁴·cosy - 5x²y³ = -10

Vi har att y = y(x) och vi deriverar med avseende på x. Det blir produktregeln på båda termerna genom implicit derivering av båda leden.

4x³·cosy + x⁴(-siny)·dy/dx - 10xy³ - 5x²·3y²·dy/dx = 0
4x³·cosy - x⁴·siny·y'(x) - 10xy³ - 15x²y²·y'(x) = 0

Går att lösa ut y'(x) om du vill det.

Snabb fråga om regler:

Varför är detta giltigt:
sqrt(18) = 3*sqrt(2)

Men varför är detta inte giltigt:

sqrt(18) är inte 4+sqrt(2)