*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Till att börja med kan det vara bra att veta ungefär hur graferna till 3e- och 4e-gradspolynom kan se ut.

Sedan kollar man på tecknet på ledande termen (-x^4 resp -x^3) för att därur dra slutsats om grafen går upp eller ned i sina ändar.
Det första polynomets båda ändar pekar nedåt, det senares vänstra ände pekar uppåt medan högra änden pekar nedåt.

Användbart kan även vara att faktorisera polynomen: x^3(1-x) resp x(1-x)(1+x). Detta gör det lätt att se nollställen. Det kan även bidra till kunskap om lokala extrempunkter och terrasspunkter.
Det första polynomet har ett trippelt nollställe i x = 0 och ser där ut ungefär som y = x^3, men åt höger vänder grafen sedan ned och passerar genom x-axeln i x = 1.
Det andra polynomet har nollställen i x = 0, x = 1 samt x = -1. Grafen kommer alltså uppifrån, passerar x-axeln i x = -1, vänder upp och passerar x-axeln i x = 0, vänder sedan ned igen och passerar x-axeln i x = +1 och fortsätter sedan nedåt.

För mer komplicerade funktioner gör man lämpligen teckenstudium av både funktion och derivata.

f(x)=x^3-x^4

Man kan först ta reda på rötterna till funktionen, alltså dess nollställen:

f(x)=0 -> x^3-x^4=0

x^3(1-x)=0 -> antingen är x^3=0 eller 1-x=0, för noll multiplicerat med något blir alltid noll.

x^3=0 -> x1=0

1-x=0 -> x2=1

f(x) har alltså nollställena 0 och 1


Vi kan nu t.ex fortsätta med att ta reda på vilka max/min punkter f(x) har genom att sätta derivatan lika med noll:

f(x)=x^3-x^4
f'(x)=3x^2-4x^3=0

x^2(3-4x)=0

x1=0

3-4x=0 -> x2=3/4

För att veta om det är ett max eller min eller terasspunk deriverar vi en gång till:

f''(x)=6x-12x^2

f''(x1)=0 -> terasspunkt

f''(x2)=6*3/4-12*(3/4)^2=-9/4 -> max

Om andraderivatan av ett x-värde som är en max/min/terasspunkt är:

positiv är det ett min
negativ är det ett max
noll är det en terasspunkt.


Vi vet redan att f(x)=0 för x=0 men vi vet inte vad f(x) är för x=3/4:

f(3/4)=(3/4)^3-(3/4)^4=27/256


Nu har du en del punkter att gå efter:

Rötterna:
(0,0)
(1,0)

Max/min/terasspunkter:
(0,0)
(3/4,27/256)

Det man gör nu är att man väljer ut några x-värden som ligger på vardera sidan om dessa punkters x-värden, t.ex. -3, -2, -1, 1/2, 2, 3 etc...

Man kan nu skissa grafen ganska noggrant.

Det gör faktiskt ingen praktisk skillnad.
Derivatan av e^(u(x, y)) är derivatan av u(x, y) gånger e^(u(x, y)).

Med u(x, y) = 2x^2 + 4xy^2 - x får vi alltså ekvationssystemet
∂u/∂x * e^u = 0
∂u/∂y * e^u = 0

Faktorn e^u kan aldrig bli 0, så vi får
∂u/∂x = 0
∂u/∂y = 0
dvs samma ekvationssystem som om vi inte hade haft exponentialfunktionen.

Ja men äre bara att ta två gånger I för och få 2,0;0,2?

Ja, för den termen.

Så om du har satt X = (a, b; c, d) så blir X^T = (a, c; b, d) och
2 I + 3 X^T = 2 (1, 0; 0, 1) + 3 (a, c; b, d) = (2+3a, 3c; 3b, 2+3d)

Utför sedan multiplikationen (1, 1; -1, 2) (2 I + 3 X^T), sätt resultatet lika med (5, 2; 4, 1) och lös ekvationssystemet.

Alltså problemet är ju att båda variablerna blir kvar...så har försökt lösa ut den ena.. Detta är det jag fått fram hittills:

∂u/∂x = 4x+4y^2 = 0
∂u/∂y = 8xy = 0

8xy = 4x+4y^2 => x = (y^2)/(2y-1)

∂u/∂x = 4x+4y^2 = 4((y^2)/(2y-1))+4y^2 => (y^2)/(2y-1) = -y^2

=> 2y-1 = 1 => y = 1

För det första blir det

du/dx = 4x + 4y^2 - 1 = 0
du/dy = 8xy = 0

Om du/dy = 0 så är x = 0 eller y = 0.

Fallet x = 0

Om x = 0 så är du/dx = 4y^2 - 1 så y = +- 1/2 och punkterna är (0,1/2) och (0,-1/2)

Fallet y = 0:

Om y = 0 så är du/dx = 4x - 1 och då fås x=1/4 dvs (1/4,0)

Stationära punkter är därmed:

(0,1/2),(0,-1/2),(1/4,0)

Tack så mycket till alla som har hjälpt !

Vad är log(15)9 om log(15)=a

Så här långt har jag kommit men sedan förstår jag inte hur jag ska gå vidare.

log(15)9=log(15)3^2=2log(15)3


Måste tacka alla ni som hjälper mig med fantastiskt pedagogiska svar.

Har en fråga från linjär algebra. Kanske är svårt att förklara men har stött på några symboler och fattar inte vad som menas med dem. Står så här, "För varje värde på t E(tror det är epsilon) R får vi en lösning". Vad menas med detta?

Det betyder för varje värde på t som tillhör R, det vill säga de reella talen. Jag vet inte vad tecknet heter men det är en ∈. Till exempel så kan du skriva x∈R

Det betyder att allatal t som tillhör r( dvs som att t är ett reellt tal) så finns det en lösning.