Citat:
Ursprungligen postat av Otrolig
Inte helt lätt att förklara, men om vi tänker oss ett euklidiskt rum (vektorrum med skalärproukt) med tillhörande ortonormerad ON-bas e₁, ..., e_n och givet en vektor u i detta rum kan vi beskriva denna genom:
u = λ₁e₁ + ... + λ_ne_n
Vi får som bekant om vi applicerar skalärprodukten till hela ledet, i tur och ordning för de olika basvektorerna, att λ₁ = (u, e₁), ... , λ_n = (u, e_n) och detta är förhoppningsvis bekant och intuitivt.
Tänk dig nu att vi har ett funktionsrum, vi kan till exempel för enkelhetens skull ta P₁ vilket är rummet av alla polynom upp till första graden (polynom på formen ax + b) och dessa får vara i intervallet [0, 1]. Detta rum har en skalärprodukt (p, q) = ∫_{0, 1} p(x)q(x) dx.
Vi kan börja med att ta fram en funktionsbas för detta rum som har två dimensioner, och vi vill gärna ha en ON-bas. För den första ansätter vi p₁(x) = a. Krav på normering ger:
(p₁, p₁) = ∫_{0, 1} p₁(x)p₁(x) dx = ∫_{0, 1} a² dx = a² = 1
Detta ger att vi kan välja a = 1 och vi har därmed p₁(x) = 1. Sedan ansätter vi p₂(x) = ax + b och nu har vi krav på ortogonalitet samt normering:
(p₁, p₂) = ∫_{0, 1} p₁(x)p₂(x) dx = ∫_{0, 1} (ax + b) dx = a/2 + b = 0
(p₂, p₂) = ∫_{0, 1} p₂(x)p₂(x) dx = ∫_{0, 1} (ax + b)² dx = ... = a²/3 + ab + b² = 1
Detta ekvationssystem löser vi enkelt och vi ser då att a = 2√3 och b = -√3 (en av lösningarna). Vi har alltså med avseende på den definierade skalärprodukten (som uppfyller definitionen av densamma) ON-basen i funktionsrummet P₁: [p₁, p₂]. Säg nu att vi har ett godtyckligt polynom i detta rum, exempelvis q(x) = x - 1 vill vi uttrycka detta med hjälp av vår bas:
q(x) = λ₁p₁ + λ₂p₂
På samma sätt som med skalärprodukten för vektorrum (euklidiska) kan vi använda vår skalärprodukt i funktionsrummet för att "projiciera" vårt q(x) på basfunktionerna.
λ₁ = (p₁, q) = ∫_{0, 1} p₁(x)q(x) dx = ∫_{0, 1} (x - 1) dx = ... = -1/2
λ₂ = (p₂, q) = ∫_{0, 1} p₂(x)q(x) dx = ∫_{0, 1} (2√3·x - √3)(x - 1) dx = ... = 1/(2√3)
Vi får nu alltså att q(x) = -1/2·p₁ + 1/(2√3)·p₂ = -1/2·1 + 1/(2√3)·(2√3·x - √3) = -1/2 + x - 1/2 = x - 1 och det stämmer ju fint.
Det finns förutom dessa ändliga funktionsrum även rum med oändlig dimension och då med exempelvis basen [1, sinx, sin2x, sin3x, ...]. Förhoppningsvis har jag gett dig en någorlunda inblick i detta i alla fall.
u = λ₁e₁ + ... + λ_ne_n
Vi får som bekant om vi applicerar skalärprodukten till hela ledet, i tur och ordning för de olika basvektorerna, att λ₁ = (u, e₁), ... , λ_n = (u, e_n) och detta är förhoppningsvis bekant och intuitivt.
Tänk dig nu att vi har ett funktionsrum, vi kan till exempel för enkelhetens skull ta P₁ vilket är rummet av alla polynom upp till första graden (polynom på formen ax + b) och dessa får vara i intervallet [0, 1]. Detta rum har en skalärprodukt (p, q) = ∫_{0, 1} p(x)q(x) dx.
Vi kan börja med att ta fram en funktionsbas för detta rum som har två dimensioner, och vi vill gärna ha en ON-bas. För den första ansätter vi p₁(x) = a. Krav på normering ger:
(p₁, p₁) = ∫_{0, 1} p₁(x)p₁(x) dx = ∫_{0, 1} a² dx = a² = 1
Detta ger att vi kan välja a = 1 och vi har därmed p₁(x) = 1. Sedan ansätter vi p₂(x) = ax + b och nu har vi krav på ortogonalitet samt normering:
(p₁, p₂) = ∫_{0, 1} p₁(x)p₂(x) dx = ∫_{0, 1} (ax + b) dx = a/2 + b = 0
(p₂, p₂) = ∫_{0, 1} p₂(x)p₂(x) dx = ∫_{0, 1} (ax + b)² dx = ... = a²/3 + ab + b² = 1
Detta ekvationssystem löser vi enkelt och vi ser då att a = 2√3 och b = -√3 (en av lösningarna). Vi har alltså med avseende på den definierade skalärprodukten (som uppfyller definitionen av densamma) ON-basen i funktionsrummet P₁: [p₁, p₂]. Säg nu att vi har ett godtyckligt polynom i detta rum, exempelvis q(x) = x - 1 vill vi uttrycka detta med hjälp av vår bas:
q(x) = λ₁p₁ + λ₂p₂
På samma sätt som med skalärprodukten för vektorrum (euklidiska) kan vi använda vår skalärprodukt i funktionsrummet för att "projiciera" vårt q(x) på basfunktionerna.
λ₁ = (p₁, q) = ∫_{0, 1} p₁(x)q(x) dx = ∫_{0, 1} (x - 1) dx = ... = -1/2
λ₂ = (p₂, q) = ∫_{0, 1} p₂(x)q(x) dx = ∫_{0, 1} (2√3·x - √3)(x - 1) dx = ... = 1/(2√3)
Vi får nu alltså att q(x) = -1/2·p₁ + 1/(2√3)·p₂ = -1/2·1 + 1/(2√3)·(2√3·x - √3) = -1/2 + x - 1/2 = x - 1 och det stämmer ju fint.
Det finns förutom dessa ändliga funktionsrum även rum med oändlig dimension och då med exempelvis basen [1, sinx, sin2x, sin3x, ...]. Förhoppningsvis har jag gett dig en någorlunda inblick i detta i alla fall.
Har läst ditt inlägg 8 gånger nu. Det jag inte förstod (kanske för att jag inte har läst om det än) var:
Normering av funktioner
Projektion på basfunktionen
Men med dimension, menar du då gradtalet på polynomet? Nu tog du ett rum som hade 2 dimensioner med polynomet ax + b. Är det rätt koppling jag gör??
Problemet är att min hjärna försöker skapa en bild av hur det ser ut. Även fast jag vet att det omöjligt. Hur kommer jag bort från det geometriska tänket? Jag sitter fastklistrad där hårdare än superlim. Det är likt en reflex - det är därför jag blir så förvirrad.
Tack för exemplet, det hjälpte mer än vad du tror
Man blir dock förvirrad när ens metod plötsligt inte fungerar 
