*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Nu känner jag mug jävligt korkad men är osäker på hur projektioner,särskilt L2 fungerar. Sen skulle det vara mycket snällt om du kunde hjälpa till med att få någon klarhet i den identitet jag citerade sist

En projektion p är helt enkelt bara en avbildning som uppfyller p(p(x)) = p(x).

Egentligen skulle det räcka att visa en väldigt generell sats:
Låt f : A → B vara en funktion och definierar R genom xRy om f(x) = f(y).
Då är R en ekvivalensrelation.

För R är f("abcd") = a+b+c+d.

Facit säger att det finns (4*9-4*1)/2+1=17 olika klasser. Hur har de kommit fram till det?

Lös följande differentialekvation
x^2*y*y'+y(x-1)^2=0

eftersom båda termerna innehåller y av samma grad tar dom ju ut varandra så jag kan inte få fram den allmäna lösningen

Nyvaken som jag är ser jag inte vad detta P innebär, hur den mer formellt definieras och hur den senare likheten uppkommer. För att förklara närmare så har denna typ av frågor uppkommit på grund av en likhet jag hittade i en publicering:


Edit: Kan tillägga att ovan likhet alltså är i en variabel.

En annan mer direkt definition är att projektionen P_S på underrummet S ges av

P(s) = s för alla s \in S
P(x) = 0 för alla x \notin S

och det är väl inte så svårt att visa att det är ekvivalent med mannes definition. (Fast då kanske man måste kräva att S är slutet och att p är kontinuerlig eller något sånt...)

En projektion p är helt enkelt bara en avbildning som uppfyller p(p(x)) = p(x).

Vanligast är de i linjär algebra, där man t.ex. har ortogonalprojektioner av vektorer .
Till exempel är projektionen av vektorn (x, y, z) ned på xy-planet (x, y).
Plocka fram din gamla bok i linjär algebra om du behöver kolla mer på det. :-)



F^{-1}[F(Χ_[-b,b])Χ_[0,∞]] = [(I+iH))/2](Χ_[-b,b])

Jag antar att X_A är karakteristiska funktionen för mängden A, dvs X_A(x) = 1 om x tillhör A, = 0 annars.

Ekvationen säger att om man tar Fouriertransformen av X_[-b, b], multiplicerar resultatet med X_[0, ∞] och sedan tar inversa Fouriertransformen, så får man samma resultat som om man låter den linjära avbildningen (I+iH)/2 verka på funktionen X_[-b, b].
Mycket mer än så kan jag tyvärr inte hjälpa dig i att tolka ekvationen.

Nyvaken som jag är ser jag inte vad detta P innebär, hur den mer formellt definieras och hur den senare likheten uppkommer. För att förklara närmare så har denna typ av frågor uppkommit på grund av en likhet jag hittade i en publicering:

Jag tror att X_[-b, b] mest är förvirrande, utan det där gäller för vilken funktion som helst:

Jag hävdar att

F^{-1}[F(f)Χ_[0,∞]] = [(I+iH))/2](f) [*]

gäller för alla (rimligt snälla, t.ex. L^2 borde funka) funktioner f, där Χ_[0,∞] alltså är den karakteristiska funktionen för [0, ∞], I är identitetsavbildningen, och H är Hilberttransformen.

Men definitionen av H är att H = F^{-1}(-F(f)*i*sgn), dvs ta Fouriertransformen av f, multiplicera med funktionen -i*sgn(omega), och Fouriertransformera tillbaks.

Å andra sidan kan vi skriva I som I = F^{-1}(F(f)*1): Ta Fouriertransformen, multiplicera med konstantfunktionen 1 (dvs gör ingenting), och Fouriertransformera tillbaks.

Av linearitet hos Fouriertransformen och dess invers följer då att högerledet av[*] är

[(I+iH))/2](f) = F^{-1}(F(f)*(1 - i*i*sgn)/2.

Men man ser direkt att funktionen (1 - i*i*sgn)/2 är lika med funktionen Χ_[0,∞], i alla fall nästan överallt. Detta visar[*].


Det formeln[*] intuitivt säger är att (1 + iH)/2 är operatorn som tar en signal, tar bort alla negativa frekvenser, men sparar alla positiva. (En signal med positiv resp. negativ frekvens är f(t) = e^(i*omega*t), där omega är positivt resp. negativt.)

Så intuitivt så kan man se P = (1 + iH)/2 som projektionen på underrummet till L^2(R) som "spänns upp" av funktionerna e^(i*omega*t) för alla omega > 0.

Den minimala siffersumman är 1+1+1+1 = 4. Den maximala siffersumman är 9+9+9+9 = 4*9. Om x tillhör A, vad gäller då för siffersumman av x? Hur många sådana tal finns det mellan 4 och 4*9?

(9*4-1*4)/2 och och tydligen en till.

Varför "missar" man en? Skulle man gjort det om man ville åt de jämna istället för de udda?