*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Avstånd mellan linjer

Suttit med en uppgift ett tag och lyckas inte komma fram till svaret. Bestäm avståndet mellan linjerna

L1: (0,2,2) + s(1,0,-1) och L2: (1,0,1) + t (-2,0,2)

Det jag har gjort är att sätta upp ett ekvationssystem med riktningsvektorerna från L1 och L2 med den sökta vektorn PQ, med punkterna P och Q på respektive linje.

PQ*V1 = 0 (1)
PQ*V2 = 0 (2)

Det som är okänt är ju punkterna p och q men med dessa två ekvationer kan jag ju få ut dem men jag lyckas inte. Jag får fram att ekvationerna tar ut varandra. Är det så att jag gör rätt men inte lyckas tolka svaret?

Jag får fram att:
(1) ger: 2t+s = 0 /insättning av (2)/ ger: 2t+1-2t = 0 <=> 1 = 0?!
(2) ger: 1-2t-s = 0

Jag har ju gjort fel någonstans på vägen men nu har jag gjort om den så pass många gånger att jag gav upp.

Rätt svar är att minsta avståndet är 2.

Tacksam för vägledning.

Eftersom V2 = (-2,0,2) = -2(1,0,-1) = -2 V1, konstaterar vi att L1 och L2 är parallella.

Teckna ekvationen för ett plan som skär linjerna vinkelrätt och som går genom
punkten P = (0,2,2) på L1.
I vilken punkt Q skär detta plan L2?

Öhh, söks minsta avståndet eller? "(1) ger: 2t+s = 0 /insättning av (2)/ ger: 2t+1-2t = 0 <=> 1 = 0?!", ja, träffar aldrig linjerna varandra ska inte detdär ekvationssystemet gå ihop.

Söks ett minsta avstånd hade iaf jag sökt ett plan som exempelvis L1 ligger i, och räknat från det.

Kört fast igen...

Bestäm de lokala extrempunkternas koordinater med hjälp av derivata.

y = x^3 + 1,5x^2 + 2

y' = 3x^2 + 2,25x

Vad blir x i det här fallet?

Hej. Hur räknar man ut diagonalen på en rektangel om längden är 5,4m och bredden är 4,2 m?

Tacksam för svar.

Sen hur räknar man bredden ur en widescreen-tv's skärm om en teve har 29 tum och en annan 32 tum och båda har lika hög bildskärm, 42,5cm och om en tum är 2,5 cm?

Använd dig av pythagoras sats.

a^2 + b^2 = c^2

5,4^2 + 4,2^2 = 46,8m

Rörande TV-apparaterna så sätter du in vad du vet i pythagoras sats, vilket i ditt fall är höjden och hypotenusan (diagonalen), och räknar sedan ut.

29" --> 42,5 + b^2 = 29 * 2,5

Sedan likadant för 32" TVn.

Förenkla din första derivata så att du får, y' = 3x (x + 0,75).

Då får vi enkelt fram de två rötterna, x1 = 0 samt x2 = -0,75, som alltså gäller då y' = 0 (nollpunkter).

För att sedan få fram koordinaterna så räknar du fram andra derivatan och för in x-värdena ovan.

Har en kort fråga, om någon orkar w

I en integralekvation får jag fram följande fouriertransformerade funktion:

û(w) = 1/(1+w^2)
Detta inverterar jag, med hjälp av tabell, till
u(t) = 1/2 * e^-|t|

Lösningsförslaget (det är en gammal tenta) partialbråksuppdelar dock 1/(1+w^2) till
1/(1+w^2) = 1/(1-(iw)^2) = 1/2 * (1/(1-iw) + 1/(1+iw))
som inverteras till
u(t) = 1/2 (e^t H(-t) + e^-t H(t))

Lösningsförslagets funktion är ju exakt likadan, förutom i t=0. Här beror deras svar på hur H(t) är definierad, om den är 1 i noll eller om den är 0 i noll (finns olika definitioner, vilken är standard?). Om den är 1 i noll, så ser man att deras funktionsvärde blir u(0) = 1, medan mitt funktionsvärde blir u(0) = 1/2.

Om H(0) = 0, så blir istället deras funktionsvärde u(0) = 0.

Hur som helst. Det jag undrar är, vad är egentligen rätt, och varför?
Tack för svar!

Båda/det spelar ingen roll. Det beror lite exakt på hur den ursprungliga integralekvationen ser ut, men troligtvis så är båda svar rätt, oavsett hur man definierar H(0).

Grejen med Fouriertransformen är att den är uppbyggd på en integral, och integralen kan inte detektera värdena vid enskilda punkter. Ändrar man värdet i bara en punkt så ändras inte integralen.

Så Fouriertransformen är egentligen inte injektiv, och nån invers-Fouriertransform kan inte finnas, eftersom t.ex. H med H(0) = 1 och H med H(0) = 0 har exakt samma Fouriertransform. Dock så är Fouriertransformen "nästan" injektiv, i bemärkelsen att det finns en invers, och om man tar en funktion f (som i nån mening måste vara tillräckligt snäll), Fouriertransformerar, och sen inversfouriertransformerar och får en funktion g, så är f och g likadana, bortsett från att de kan skilja sig i en mängd av mått noll. Så egentligen så kan man aldrig få tillbaka exakt det man vill ha om man har Fouriertransformerar, eftersom man faktiskt tappar lite information när man gör det.

Dock så säger man oftast bara att, ja okej, de kanske skiljer sig lite, men det spelar ingen roll. Vi är glada bara vi får ett svar som stämmer överens med det vi "borde" få nästan överallt. Och då spelar det som sagt ingen roll exakt hur man definierar H(0).

Hur negerar jag likformig kontinuitet? Alltså jag vill visa att en viss följd av funktioner INTE konvergerar likformigt.


∃ε > 0 ∀N: ( n ≥ N ⇒ |f_n(x) - f(x)| ≥ ε ) för alla x som definierade för f_n

Alltså det existerar ett epsilon större än noll, så att för varje naturligt tal N gäller det att om n är större än eller lika med detta N så är avståndet mellan f_n(x) och f(x) större än eller lika med detta epsilon. Stämmer det?

nja, en möjlig definition av likformig konvergens är:
∀ε > 0 ∃N: (n ≥ N ⇒ (|f_n(x) - f(x)|) < ε för alla x))
vill vi nu negera detta är
∃ε > 0 ∀N:
rätt o börja med, men sen ska man då ha negeringen av implikationen, vilken kan se ut tex som:
∃n≥ N, ∃xf_n(x) - f(x)|≥ ε

alltså ∃ε > 0 ∀N: ∃n≥ N, ∃xf_n(x) - f(x)|≥ ε

med ord: det existerar ett epsilon större än noll, så att för varje naturligt tal N gäller det att för något tal n större eller lika med N så är inte alla talen {|f_n(x) - f(x)|, x i I} mindre än epsilon.

Någon som kan hjälpa mig? Tycker inte uppgiften borde vara svår egentligen men får fel hur jag än gör!

(e^x) - (e^-x) = 6

Då vill jag göra såhär:

ln(e^x)-ln(e^-x)=ln6
x - (-x) = ln6
2x = ln6
x = (ln6/2)

Vad har jag missupfattat?