Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Tack så mycket
Ny fråga:
Thm: Suppose f is bounded on [a,b], f has only finitely many points of discontinuity on [a,b], and u is continuous at every point at which f is discontinuous. Then f is Riemann-Stieltjes integrable.
Proof: Let eps > 0 be given. Put M = sup|f(x)|, let E be the set of points at which f is discont. Since E is finite and u is cont at every point of E, we can cover E by finitely many disjoint intervals [p_j,q_j] ⊂ [a,b] (1) such that the sum of the corresponding differences u(q_j)-u(p_j) is less than eps (2). Furthermore, we can place these intervals in such a way that every point of E∩(a,b) lies in the interior of some [p_j,q_j].
Remove the segments (p_j,q_j) from [a,b]. The remaining set K is compact. Hence f is uniformly cont on K, and there exists delta > 0 s.t |f(s)-f(t)|<eps if s,t in K and |t-s|<delta.
Now form a partition P = {x_0,...,x_n} of [a,b] as follows: Each p_j,q_j occurs in P. No point of any segment (p_j,q_j) occurs in P. If x_(i-1) is not one of the p_j, then x_i - x_(i-1) < delta (3).
Note that M_i - m_i ≤ 2M for every i, and that M_i - m_i≤eps unless x_(i-1) is one of the p_j. Hence... U(P,f,u)-L(P,f,u)≤[u(b)-u(a)]*eps+2M*eps (4), etc.
1) Om f är diskont. i punkten a så kan man inte konstruera ett intervall runt a så att detta intervall ingår i [a,b], så jag antar att a, pga egenskaper hos f eller u, inte kan vara en diskontinuitetspunkt. Varför?
Va? Jag förstår verkligen inte vad du menar.
Säg att x är en punkt i [a, b]. Alltså finns ett delintervall till [a, b] som innehåller x. I synnerhet gäller detta om x är en punkt i [a, b] där f råkar vara diskontinuerlig.
Tänk på att [a, b] alltså är definitionsmängd till f, inte värdemängd eller målmängd. Det kanske är det som förvirrar?
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
2) Dvs, man konstruerar intervallet så att det är mindre än eps? - alla eps>0 eller ett fixt eps? ("let eps be given")
Din motståndare ger dig eps, och ditt mål är att bygga upp övre och undre Riemann-Stieltjes-summor som skiljer med mindre än eps. För att göra det så är första steget i din konstruktion att ta sådana intervall som är kortare än det eps din motståndare gav dig. I beviset tänker vi oss alltså att eps är fixt, men eftersom det är din motståndare som ger dig eps så är epsilon också godtyckligt.
Man kan formulera om hela bevis som
Steg 1) För varje epsilon, kan vi hitta ändligt många disjunkta delintervall [p_j, q_j] kortare än eps, så att ...
Steg 2) För varje epsilon, så kan vi genom att ta bort intervallen (p_j, q_j), få en kompakt mängd så att ...
...
men då måste man alltså säga "För alla epsilon" i princip framför varje mening. Det är tydligare att bara säga "Låt eps > 0 [underförstått: vara godyckligt.]" I början, och sen låtsas om att man redan vet eps, och se det som att man bara gör
en konstruktion. Men eftersom eps är godtyckligt, så är det man egentligen gör oändligt många konstruktioner, ett för varje epsilon. Dessa oändligt många konstruktioner tillsammans vissar integrerbarheten.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
3) Dvs om x_(i-1) = p_j så tillåter man att (x_i - x_(i-1)) ≥ delta?
Ja.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
4) Hur uppstår HL i sista ekvationen? U-L = Sum{i=1,n}(u(x_i)-u(x_(i-1))(M_i - m_i) ≤ 2M Sum{1,n}(u(x_i)-u(x_(i-1)) ≤ 2M(u(b)-u(a)) får jag det till.
Vi summerar alltså
(u(x_i)-u(x_(i-1))(M_i - m_i)
Poängen är att det finns två olika typer av intervall, så vi kan dela upp summan i två delar. Kalla de typ I och typ II. Så ovanstående summa är samma sak som
Sum_{Typ I-intervall} (u(x_i)-u(x_(i-1))(M_i - m_i) + Sum_{Typ II-intervall} (u(x_i)-u(x_(i-1))(M_i - m_i).
Typ I: Intervall där x_{i-1} inte är något p_j, och då är [x_{i-1}, x_i] ett delintervall av K av längd kortare än delta. Här så vet vi att f inte kan varierar alltför mycket. Närmare bestämt vet vi av likformig kontinuitet för f på K, att M_i - m_i < eps för såna här intervall. Så
Sum_{Typ I-intervall} (u(x_i)-u(x_(i-1))(M_i - m_i)
<= Sum_{Typ I-intervall} (u(x_i)-u(x_(i-1)) eps
<= (u(b) - u(a)) eps.
På ett typ II-intervall, där alltså x_{i-1} = p_j så gäller andra saker. Idén är lite att här har vi ingen kontroll över hur mycket f varierar, men vi har å andra sidan kontroll över hur mycket u varierar. Vi vet bara att M_i - m_i <= 2M, så vi får
Sum_{Typ II-intervall} (u(x_i)-u(x_(i-1))(M_i - m_i)
<= Sum_{Typ II-intervall} (u(x_i)-u(x_(i-1))*2M.
Men vi vet också att x_{i-1} = p_j, x_i = q_j, och att Sum_j u(q_j)-u(p_j) < eps. Detta betyder bara att
Sum_{Type II-intervall} (u(x_i)-u(x_(i-1)) < eps
.
Sätter vi ihop det med tidigare olikhet får vi
Sum_{Typ II-intervall} (u(x_i)-u(x_(i-1))(M_i - m_i) <= eps * 2M
Sum_{alla intervall} (u(x_i)-u(x_(i-1))(M_i - m_i)
=Sum_{Typ I-intervall} (u(x_i)-u(x_(i-1))(M_i - m_i) + Sum_{Typ II-intervall} (u(x_i)-u(x_(i-1))(M_i - m_i)
<= [u(b) - u(a)]*eps + eps*2M.
