Talplan beskrivna av x,y och räta linjer.

Betrakta ekvationen y = t. Om vi låter x och t anta alla värden i intervallet (-∞,∞) kan vi beskriva hela x,y-planet. Om vi sedan betraktar ekvationen y = tx där t får anta alla värden i (-∞,∞) och x får anta alla värden i (-∞,∞) för varje värde på t så bör denna ekvation också kunna beskriva hela x,y-planet.

Låt oss nu betrakta y = tx + t; som kanske kan ses som summan av de två tidigare ekvationerna. t antar återigen alla värden i ℝ och x antar alla värden i ℝ för varje värde på t. Kommer denna ekvation beskriva x,y-planet på precis samma sätt som de tidigare ekvationerna?

Rent intuitivt känns det som att hela x,y-planet borde representeras utan upprepning (varje punkt i planet kommer representeras av ett enda värde på x och t). Samtidigt känns det märkligt att y=f(x)=t och y=g(x)=xt var för sig representerar hela x,y-planet och ändå ger y = f(x)+g(x) samma representation.

Går detta att förklara, har jag gjort något fatalt misstag eller är det helt enkelt irrelevant? Tacksam för svar.

Gör den verkligen det? Får du med hela y-axeln? För vilket värde på t hamnar du i (x, y) = (0, 1)?

Jag förstår inte riktigt vad du menar.

Ofta låter man två ickeparallella vektorer beskriva ett plan. Då kan samtliga punkter i planet bildas genom linjärkombinationer av de två vektorerna.

För att det hela ska bli meningsfullt måste du nog upp en dimension. Det är meningslöst att prata om ett plan om man bara rör sig i två dimensioner eftersom du då inte kan prata om olika plan.

Precis som påpekats får du inte med alla punkter heller, men jag tror jag förstår din frågeställning nu så att jag kan svara på den.

Ansätt:
y1=xt
y2=xt+t

Då har vi:
xt=y2-t
y1=y2-t
och
y2=y1+t

Dvs
y1=f(y2,t)
y2=g(y1,t)

Ja, man säger (ungefär) att t och x spänner upp planet som x och y utgör ortogonal (ungefär vinkelrät) bas för. Ett antal vektorer spänner upp ett rum av samma dimension som antalet så länge inte någon av vektorerna kan skrivas som en summa av de andra.

T.ex. spänner inte y,x och t upp 3 dimensioner här eftersom vi har att y=tx+t

Nu följer du ju inte direkt standardnotation, men andemeningen är rätt. Kolla upp http://sv.wikipedia.org/wiki/Bas_(linj%C3%A4r_algebra)

Om vi väljer att sluta mängden får vi hela planet. Även y = tx + t ger hela planet efter att vi slutit mängden, eftersom y = t(x+1) ger samma mängd som y = tx, men translaterad en enhet i x-axelns negativa riktning.

Ah, y=tx är exklusive y-axeln. Tänkte inte på det. Slog mig just att även om ett sådant t-värde fanns så hade inget x-värde funnits som beskriver punkten (0,1). Sen så kanske problemet trots allt var ett icke-problem från första början.


Jo jag har läst några baskurser i linjär algebra och även andra kurser som bygger på linjär algebra.

Kort summering av icke-problemet som jag såg: Det kändes som att en summering av två linje-ekvationer - där den ena av dem kan beskriva hela x,y-planet på egen hand - bör tillföra någonting; och det gör det ju också eftersom y=f(x)=t bara kan beskriva horisontella linjer samt x,y-planet medan y=h(x)=xt + t kan beskriva linjer med godtycklig lutning från x-axeln (utom 90 grader som manne påpekade) inklusive x,y-planet.

Jag vet inte om ni alls ser problemet som jag tyckte mig se. Tack för era bidrag däremot, ska kika igenom dem lite noggrannare efter en god natts sömn.

En till fundering lite hastigt bara. Kommer vi kunna beskriva alla punkter i x,y-planet om vi låter y=rx + t; r,t∈ℤ; x∈ℝ?

Först tänkte jag svara ja, sedan såg jag att r, t ∈ ℤ, inte ℝ och tänkte svara nej, men nu lutar jag mot ett ja (under förutsättning att vi sluter mängden).

Tag P = (x, y) ∈ ℝ². Frågan är nu om det finns linjer (y = r x + t beskriver ju en linje) godtyckligt nära P. Mer formellt: Vi vill visa att för varje ε > 0 finns P' = (x', y') med d(P', P) ≡ √((x-x')² + (y-y')²) < ε och r, t ∈ ℤ så att y' = r x' + t.

Tag ε > 0. Vi vet att ℚ är tät i ℝ, och jag tror att D = { (a/c, b/c) | a, b, c ∈ ℤ; c ≠ 0; sgd(a, c) = 1 = sgd(b, c) } ⊂ ℚ² är tät i ℝ². Då finns P' = (x', y') = (a/c, b/c) ∈ D så att d(P', P) < ε. Denna punkt ligger på linjen y = r x + t omm b/c = r a/c + t, dvs omm r a + t c = b. Eftersom sgd(a, c) = 1 enligt definitionen av D finns r', t' ∈ ℤ sådana att r' a + t' c = 1. Sätt nu r = b r' och t = b t'. Då gäller att r a + t c = b och P' ligger på linjen y = r x + t. Eftersom ε var godtycklig finns linjer godtyckligt nära varje punkt i planet, så om vi sluter mängden som alla linjerna täcker får vi ℝ².

Intressant, tack så hjärtligt för det matematiska resonemanget du har fört. Jag ska kika igenom det lite noggrannare vid senare tillfälle; det är vissa begrepp jag måste påminna mig om vad de innebär.

Mina första tankar angående ekvationen lutade också lite fram och tillbaka tills jag beslöt mig för att det borde gå (jag är tyvärr inte nog duktig själv för att bygga ett sånt här fint matematiskt bevis från grunden).

Jag hann däremot komma upp med ett till motresonemang innan jag somnade; de linjer som ekvationen beskriver borde bara kunna beskriva rationella tal längst y-led; något som jag fick för mig att ditt bevis också säger enligt min första anblick åtminstone. Men enligt slutsatsen från ditt bevis bör alltså även punkten (pi, pi) finnas med? Eller är det då vi "sluter mängden" som alla irrationella tal inkluderas?

Eftersom x löper över ℝ, löper även y över ℝ då y = r x + t. Men linjerna kan inte gå i vilka vinklar som helst, och inte passera x- och y-axlarna var som helst.


Den punkten kommer med för r = 1, t = 0, x = pi.


Inte alla punkter har en linje som går genom den. Detta gäller t.ex. om x är rationellt, men y irrationellt. Däremot finns det linjer som passerar godtyckligt nära punkten. Om vi sluter mängden som linjerna täcker, får vi därför med hela planet.

Ja ok, det kändes bara som att y inte borde kunna löpa över alla ℝ - just på grund av att varken vinklarna eller förskjutningarna är fria; men det är väl det du talar om i sista stycket.


Det är så sant; ett inte alltför genomtänkt exempel av mig. (pi,0) insåg jag borde finnas representerat och då tog jag (pi,pi) som första bästa exempel på nåt som inte borde finnas med. (1, pi) hade alltså varit ett bättre exempel på en punkt som inte är representerad om jag förstår dig rätt.


Då är jag med. Nu är det nog inga frågetecken kvar från min sida rörande den ekvationen. Tack för all hjälp.

Jag har däremot en del funderingar angående lite annat besläktat med detta men jag låter det vara så länge; något ska jag väl kunna läsa mig till på egen hand.