Derivera absolutbelopp

Ex.
f(x)=x^3+x^2+|x|

Om vi deriverar detta får vi två olika fall, men vad händer då x=0? Derivatan för |x| är ju odefinierad; blir då hela funktionens derivata odefinierad i x=0 eller blir den f'(x)=x^3+x^2, alltså f'(0)=0?

Hur kan det bli två olika fall? Blir det inte bara f'(x)=3x^2+2x+|1|? f'(0) borde alltså bli |1| eller?

x<0
f(x)=x^3+x^2-x
f'(x)=3x^2+2x-1

x>0
f(x)=x^3+x^2+x
f(x)=3x^2+2x+1

Det där är precis som att säga att derivatan av sin(x) är sin(1).

Korrekt - i det här fallet åtminstone. I andra fall kan derivatan vara definierad, exv för f(x) = |x|².

Man måste helt enkelt dela upp hela funktionen i de delar där |x| är positivt och negativt och köra dem var för sig. Och se till att saker och ting faktiskt stämmer i efterhand så du inte får x=-1 för 0<x<1 eller nåt.

Jag tänkte att absoluta tal förlorar eventuellt tecken och därför borde +|x| alltid vara positivt oavsett om det är större eller mindre än noll men ett absolut tal slutar alltså vara ett absolut tal vid derivering? Jag har aldrig deriverat absoluta tal

Att f(x)>0 innebär inte nödvändigtvis att f'(x)>0.
http://tinyurl.com/ya3avkn

Det stämmer att absolutbeloppet alltid är positivt (eller noll), men det betyder inte att derivatan nödvändigtvis också är det. Vi har |x| = x för x > 0, så derivatan blir 1 för x > 0. Men för x < 0 gäller |x| = -x, så derivatan blir där -1, dvs ett negativt tal.

Derivatan av |x| är sign(x) (signum-x). Signumfunktionen är definerad som konstant -1 för negativa tal och konstant 1 för positiva tal. Den är alltså odefinerad i origo.

Härledning: om |x|=√(x²) så är d/dx(|x|)=d/dx(√(x²))=2x*1/(2√(x²))=x/√(x²)=x/|x|

Denna funktion är uppenbarligen 1 om x>0, -1 om x<0, ej def om x=0.

Vad blir då derivatan av typ |X-1|?

Har en uppgift som ser ut 3x^3 + 16|X-1| där jag ska hitta lokala min och max, men vettefan hur jag ska derivera detta.