Hjälp mig att hitta teckenfelet

"Låt F vara den vridning med minsta vridningsvinkeln som avbildar e1 + e2 på en vektor lika riktad med e1 + e2 + e3. Bestäm F(e3)."

Okej, först undersöker vi vinkeln lite närmre:

e(1, 1, 0) • e(1, 1, 1) = √2√3∙cosθ

cosθ = 2/√6 = √2/√3 ⇒ sinθ = 1/√3

Kring vilken vektor sker rotationen?

e(1, 1, 0) × e(1, 1, 1) = e(1, -1, 0)

Rotationen sker kring e1 - e2 och planet x1 - x2 = 0 spänner upp det plan som innehåller vektorer som roteras med motsvarande vinkel. Vi skapar en ny ON-bas:

f1 = e 1/√2 (1, -1, 0)
f2 = e (0, 0, 1)
f3 = e 1/√2 (1, 1, 0)

Den första vektorn är normalvektorn, och de andra två ligger alltså i planet. Avbildningen i den nya basen sker såhär:

F(f1) = 1* f1
F(f2) = cosθ*f2 + sinθ*f3
F(f3) = -sinθ*f2 + cosθ*f3

Avbildningsmatrisen i den nya basen, Af blir alltså:

(1, 0, 0)
(0, √2/√3, -1/√3)
(0, 1/√3, √2/√3)

Bassambandet lyder då:

f = eT där kolonnerna i T ges av f1, f2 och f3 i ordning. För att få fram matrisen i basen e får vi:

Ae = TAfT^-1 vilken ni kan se resultatet av här: http://tinyurl.com/yc5hshz

Bilden av F(e3) = 1/√6(e1 + e2 + 2e3) enligt mig alltså. Men enligt facit är det 1/√6(-e1 - e2 + 2e3). Så vad har jag gjort för fel?

Jag vet inte vad detta handlar om men jag blir lite twichy när du har trigonometriska ettan och antar att sin är positivt. Vet inte om det har med saken att göra och om det inte gör det är det bara att ignorera mig med tanke på att jag inte satt mig in i problemet.

Vi vet att cosθ = 2/√6 har två lösningar inom intervallet [0, 2π], enligt uppgiften vill vi dock ha den minsta vridningsvinkeln vilket innebär att vi befinner oss i den första kvadranten. Då är sinθ > 0, och detta torde inte vara något problem tror jag.

Nej, minsta vridningsvinkel kan även vara negativ. Det vill säga, om du vrider motsols 315 grader säg så är det ju samma sak som att vrida medsols 45 grader, och därför samma sak som att vrida motsols 45 grader, fast man tittar på det från andra hållet så att säga.

Din avbildningsmatris (i F-basen)

(1, 0, 0)
(0, √2/√3, -1/√3)
(0, 1/√3, √2/√3)

kan man lätt se att den inte avbildar e1 + e2 (vilket ju blir √2 f3) på nåt i riktningen e1 + e2 + e3. Så du ska ta andra tecknet för sin, helt enkelt.

Härligt, då stämmer det perfekt. Men hur skulle jag ha insett från början att jag skulle ha tagit sinθ = -1/√3, och jag antar då att vinkeln ska finnas i den fjärde kvadranten? Hur inser jag att överhuvudtaget vridningsvinkeln och var den är?

Okej, jag förstår i det här fallet hur man ska avgöra vilket tecken det är, men hur kan man göra rent allmänt?

Tja, det vete fan egentligen.

Alternativ 1: Ha så bra visualiseringsförmåga för det här med R³ att man kan se direkt vad som ska vara rätt.

Alternativ 2: Införa nåt slags konsekvent system att man alltid använder högerorienterade ON-baser och alltid kryssar saker i rätt ordning så att det funkar. Känner inte att jag orkar försöka komma på exakt vad reglerna för det borde vara, men tror det borde gå.

Alternativ 3: Helt enkelt testa! När man fått en matris, bara stoppa tillbaks det i det som är givet i upgpiften för att definiera rotation. Om saker verkar snurra åt fel håll, tja, flippa tecken och försök igen.

Rekommenderar alltså alternativ 3, om det inte framgår.

Detta förstås om du gör uppgifter för hand. Om det är meningen att du ska programmera en dator till att rotera saker åt dig (t.ex. för typ 3D-grafik eller nåt) så måste du nog köra på nån variant av 2, och tänka igenom allt väldigt noga.