*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hur kan man försäkra sig om att N! ~ N^N (för stora N) är en god approximation?

Det beror nog på vad man menar med en god approximation. I mina ögon ser inte detta ut som en bra approximation, detta eftersom att N^N/N! → ∞ då N → ∞.

Nu lyckas jag se att formeln stämmer, men jag kan verkligen inte tolka det geometriskt. Var kan man tänka sig att "startpunkterna" är? säg att vi har ett koordinatsystem med linjen y = 3x. Och hur ska jag flytta startpunkterna? på en y = x axel så flyttas e1 till y axeln och e2 till x axeln. Finns det något liknande sätt man kan tänka på?

Säg att du tar hela planet och roterar med linjen som axel, dvs du roterar det i 3d utanför själva planet. Om du gör en 180° sådan rotation så får du speglingen i linjen.

Hej Flashback,

Jag håller på med Maclaurins och Taylors formler just nu och skulle behöva lite hjälp..

Uppgiften:

Visa att |(e^x)-1-x-(x²/2)-(x³/6)-(x⁴/24)| ≤ |x|⁵/40

om |x|≤1/2.

Okej, så jag ser såklart att de subtraherar standardutvecklingen av grad 4 från e^x inom absolutbeloppet.
|x|≤1/2 säger mig att -1/2≤x≤1/2....Dessvärre är det i princip där det säger stop.

Tack på förhand,

Etil

Du kan välja valfria punkter som inte ligger på linjen y = 3x. Sedan ska du dra ett streck genom respektive punkt som skär y = 3x vinkelrätt. Speglingspunkterna ska då ligga på samma linje som går vinkelrätt genom y = 3x, på samma avstånd från y = 3x men på motsatt sida.

Ja, det är rätt så långt. Sedan ska du utnyttja det vanliga sambandet för hur stort felet kan bli med ett visst givet Taylorpolynom. Detta kan du hitta exempelvis här (botten av fjärde sidan i den sexsidiga PDF:en, dvs sidan som har sidnumret 19 i övre högra hörnet).

Det framgår alltså att du ska derivera en gång till efter den sista termen du har med i utvecklingen och sedan undersöka vilka värden den derivatan kan anta i intervallet du är intresserad av.

Observera då att det inte nödvändigtvis blir exakt |x|⁵/40 som du får som gräns, utan det kan vara något mindre. Skulle du exempelvis få fram |x|⁵/42 som gräns så är ju det något som är mindre än |x|⁵/40 och då är alltså olikheten definitivt uppfylld även för |x|⁵/40.

Ja, men tänk själv, för små N så som 5 kommer de olika talen se ut så som:
5! = 1*2*3*4*5=120 5^5 = 5*5*5*5*5=3125
10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10= 3628800 10^10 = 10*10*10*10*10*10*10*10*10*10= 10000000000

Inte ens på små N skulle jag säga att det är en bra approximering, redan efter N=10 diffar deras värden med nästan 10 miljarder!

Jotack. Jag gjorde precis såhär när jag postade frågan och blev förvånad över hur dåligt det blev, skrev dock inte att jag gjorde det. Hursomhelst, om jag tar frågan i sin kontext. Kruxet är att man verkar använda approximationen ln(N!) ~ Nln(N) i en fysikuppgift där omskrivningen ln(N!)-ln(n!)-ln((N-n)!) ~ Nln(N) - nln(n) - (N-n)ln(N-n) görs. Intuitivt ser det ut som att man gör approximationen N! ~ N^N varför jag frågade. Men jag tror inte att det är så man har gjort. Det är Stirlings approximation som man har gjort och försummat högre ordningens termer. Dvs. ln(x!) ~ xln(x)-x. Alltså:

ln(N!)-ln(n!)-ln((N-n)!) ~
~ Nln(N) - N - nln(n) + n - [(N-n)ln(N-n) - (N-n)] =
= Nln(N) - nln(n) - (N-n)ln(N-n) - (N-n) + (N-n) =
= Nln(N) - nln(n) - (N-n)ln(N-n)

Plot av kurvorna y = e^x², y = P3(x²) och y = P3(x):
https://www.pixeltopic.com/image/hreimvhqkoeezzs/

Insättning av x = 1 i P3(x²) och P3(x) ger i båda fallen närmevärdet 8/3 ≈ 2,667 för e. Men, vill man dessutom göra en feluppskattning av närmevärdet bör man (som synes) använda P3(x²).

Tjena!

Har problem med att veta hur jag ska lösa sån här typ av uppgift:

http://imgur.com/a/QFi0z

hur ska jag egentligen börja/tänka?

Uppskattar hjälp då jag själv inte har någon större aning

Du kan ju välja f(x) = -4x.