*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Uppg: Visa att denna funktion är en skalärprodukt. (X,Y) = 3x1y1 - x1y2 - x2y1 + 3x2y2.

Lösning:
vi vet ju dem tre def:
(i) (X,X) = XᵀAᵀAX = (AX)ᵀ(Ax) ≥ 0 med likhet omm Ax = 0.
(ii) (Y,X) = XᵀAᵀAY = (XᵀAᵀAY)ᵀ = YᵀAᵀAX = (X,Y)
(iii) (X,aY+bZ) = (aY+bZ)AᵀAX = aYᵀAᵀAX+bZᵀAᵀAX = a(X,Y)+b(X,Z).
....
Vi har alltså, (X,Y) = 3x1y1 - x1y2 - x2y1 + 3x2y2.
....

Det blir kanske lite trist svar, men det går inte direkt ge något annat. Det är helt enkelt när lösningarna kan skrivas på formen x = a + b*n. Så det går alltså då det går.

Hej!
Har klurat på denna ett tag och kommer ingenstans.. finns ledtrådar i boken men inget som jag tycker hjälper.

Ska beräkna: |(1+i)⁵|

Svaret i boken är: (√2)⁵ = 4√2

Tacksam för ledtrådar eller eventuellt svar!

Hur menar du? De första ekvationer skrivs väl som en vinkel adderat med perioden?

Tack.

Bevisa med hjälp av medelvärdesatsen att en funktion f(x) vars derivata är större än noll på ett öppet intervall (a,b) är strängt växande på (a,b)

Här ritar jag upp grafen, jag vet att derivatan är större än noll mellan punkterna a och b

Här ser jag ju att derivatan inte kan varar noll eller mindre mellan a och b alltså är den ju strängt växande. Men jag vet inte hur jag ska lösa uppgiften matematiskt/algebraiskt (vet inte vad jag ska kalla det).

Ni andra får också svara.

Edit: Mitt försök:

f(x2) - f(x1) / (x2-x1) = f´(c)

f(x2) - f(x1) = f´(c) * (x2-x1)

Eftersom derivatan och (x2-x1) blir således vänsterledet också det. Och då är ju funktionen strängt växande för alla (a,b)?

(i) Du skall alltså visa att den kvadratiska formen
(X,Y) = 3x₁y₁ - x₁y₂ - x₂y₁ + 3x₂y₂
är positivt definit.

Vi får
(X,X) = 3x₁x₁ - x₁x₂ - x₂x₁ + 3x₂x₂ = 3x₁² - 2x₁x₂ + 3x₂²,

vilket kan skrivas som en summa av två kvadrater:
(X,X) = 2x₁² - 4x₁x₂ + 2x₂² + x₁² + 2x₁x₂ + x₂² = 2(x₁-x₂)² + (x₁+x₂)².

Så (X,X) ≥ 0, med likhet omm X = nollvektorn i R² (dvs omm x₁ = x₂ = 0).

|(1+i)⁵| = |1+i|⁵,
|1+i| = ?