*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Tack

Låt f(x) = arctanx - ln(3+x)

a) Bestäm största möjliga definitionsmängden

-3 < x < oändligheten

b) Bestäm alla intervall där f är växande respektive avtagande

derivatan är f´(x) = 1/(1+x^2) - 1/(3+x) = 0

x^2 -x - 2 = 0

(x+1)(x-2)

Jag ställer upp en teckentabell, med punkterna -3, -1 och 2

-3 = odefinerad

mellan -3 och -1 får jag en positiv lutning.

-1 = 0

mellan -1 och 2 får jag en negativ lutning.

2 = 0

Och här blir det en positiv lutning

Men facit säger tvärtom än vad jag gör i teckentabellen.

De fetade leden är inte lika!


Vad vill du visa?
Att 3^(p+1) - 4(p+1)^(2) är större än noll?

Beräkna, f'(-2), f'(0) och f'(3) så kommer du se att du har kommit fram till fel tecken på intervallen.

Jag vet enligt antagandet att: 3^p > 4p^2.

n = p+1 ger: 3^(p+1) > 4(p+1)^2

Jag förstår inte induktionsprincipen vid olikheter. Kan du förklara?

Det är i grunden samma tillvägagångssätt oavsett om det är ett likhetstecken eller ett olikhetstecken.

Du kan ekvivalent visa att 3ᵖ⁺¹ - 4(p + 1)² > 0, det stämmer.

Utveckla då till 3*3ᵖ - 4(p² + 2p + 1) och skriv om som 3ᵖ - 4p² + 2*3ᵖ - (2p + 1).

Eftersom p > 4 så kan man konstatera att p² > 16 medan (2p + 1) > 9, och ju större p blir desto större blir p² i förhållande till (2p + 1).

Alltså gäller att 3ᵖ - 4p² + 2*3ᵖ - (2p + 1) > 3ᵖ - 4p² + 2*3ᵖ - p². Eftersom man har enligt induktionsantagandet att 3ᵖ > 4p² så är alltså nettot av de två första termerna > 0. Tittar man sedan på de två sista termerna så är 2*3ᵖ > 3ᵖ, medan p² < 4p², så man kan därför konstatera att nettot av de två sista termerna också är > 0. Då är alltså även totalsumman > 0, eftersom den kan skrivas som summan av två uttryck som vart och ett är > 0.

Tack, förstår - hade dock aldrig kommit på det själv..

Finns det någon annan enklare metod?

Inte något som jag kan se på rak arm. Det är ju standardknep att dela upp saker i olika termer.

Det som skiljer från uppgifter där man ska visa likhet är att om man ska visa att det ena är större än det andra så kan man göra det genom att ersätta enskilda termer med något som är mindre/större vid behov.

Vi förutsätter att olikheten gäller för ett specifikt fixt heltal p ≥ 4.


NEJ, vi har endast förutsatt att olikheten gäller för det givna talet p. Du skall med hjälp av induktionsantagandet VISA att olikheten även gäller för n = p+1.

Sedan återstår att visa att olikheten gäller för startvärdet n = 4.

Exempelvis här: Visa att 4n < 2^(n) för n>5.

n = p medför: 4p < 2^(p)

Hur gör ni här? Löste med logaritmer i slutet men kändes inte helt rätt trots att jag fick rätt på själva beviset.

Antag att det är sant för n = p > 5, då har man att

4(p + 1) = 4p + 4 < 2^p + 2^p = 2*2^p = 2^(p + 1).

Alltså är det sant för n = p + 1.

I det markerade steget hänger jag inte med, vart försvinner fakulteterna?