Citat:
Låt H(x) = 1 då x>0, 0 då x<0 (Heavisidefunktion. Genom att tolka H som en tempererad distribution, använd definitionen för att beräkna H'(x).
Lösning: Låt φ(x) vara en funktion som tillhör Schwartzklassen. Då gäller att:
H[φ(x)] = {-inf till inf}∫H(x)φ(x)dx = {0 till inf}∫φ(x)dx
H'[φ] = -H[φ'] = {0 till inf} -∫φ' dx = {0 till inf} -[φ] = -(φ(€) - φ(0)) där €--> inf.
Här blev jag osäker och kollade facit, hur vet jag att φ(x) är noll då x går mot oändligheten? Enligt definition ska det för en testfunktion på Schwartzklassen gälla att:
(i) φ(t) oändligt differentierbar på den reella talmängden
(ii) lim |t|-->inf t^p φ^(q)(t) = 0 för alla heltal p,q större eller lika med 0.
Kommer det ur (ii)? Alltså välj p=0, q=0 så lim |t|-->inf φ(t) = 0
Måste man välja en testfunktion på en delmängd till Schwarzklassen (mängden av oändligt deriverbara funktioner med kompakt stöd) för att få det att gå ihop? Då är ju säkert φ(x) är noll då x går mot oändligheten
Lösning: Låt φ(x) vara en funktion som tillhör Schwartzklassen. Då gäller att:
H[φ(x)] = {-inf till inf}∫H(x)φ(x)dx = {0 till inf}∫φ(x)dx
H'[φ] = -H[φ'] = {0 till inf} -∫φ' dx = {0 till inf} -[φ] = -(φ(€) - φ(0)) där €--> inf.
Här blev jag osäker och kollade facit, hur vet jag att φ(x) är noll då x går mot oändligheten? Enligt definition ska det för en testfunktion på Schwartzklassen gälla att:
(i) φ(t) oändligt differentierbar på den reella talmängden
(ii) lim |t|-->inf t^p φ^(q)(t) = 0 för alla heltal p,q större eller lika med 0.
Kommer det ur (ii)? Alltså välj p=0, q=0 så lim |t|-->inf φ(t) = 0
Måste man välja en testfunktion på en delmängd till Schwarzklassen (mängden av oändligt deriverbara funktioner med kompakt stöd) för att få det att gå ihop? Då är ju säkert φ(x) är noll då x går mot oändligheten
Citat:
Citat:
Fast det vet jag väl inte? Enligt min BETA finns bara de två villkoren ovan nämnda i definitionen på φ.
För φ i S (Schwartzklassen):
(1) ger att φ är av klass C^(∞)
(2) säger inget om kompakt stöd utan bara att det där gränsvärdet ska bli noll.
Däremot finns det en delmängd D till Schwartzklassen som säger att φ i denna mängd är av klass C_0^(∞), dvs. oändligt deriverbara med kompakt stöd. Hur vet jag i sådana fall vilken mängd som jag ska ta en testfunktion från? Den tempererade distributionen är väl definierad på Schwartzklassen och inte någon delmängd till den? Det blir väl i någon mån ett "svagare" argument att lösa uppgiften i D, som bara är en del av funktionerna i S.
För φ i S (Schwartzklassen):
(1) ger att φ är av klass C^(∞)
(2) säger inget om kompakt stöd utan bara att det där gränsvärdet ska bli noll.
Däremot finns det en delmängd D till Schwartzklassen som säger att φ i denna mängd är av klass C_0^(∞), dvs. oändligt deriverbara med kompakt stöd. Hur vet jag i sådana fall vilken mängd som jag ska ta en testfunktion från? Den tempererade distributionen är väl definierad på Schwartzklassen och inte någon delmängd till den? Det blir väl i någon mån ett "svagare" argument att lösa uppgiften i D, som bara är en del av funktionerna i S.
Det finns flera klasser av distributioner. Den normala klassen bygger på testfunktioner kompakt stöd, men denna klass fungerar inte när man håller på med Fourieranalys eftersom Fouriertransformen av en funktion med kompakt stöd inte har kompakt stöd. Då kör man i stället med testfunktioner som uppfyller lim |t|-->inf t^p φ^(q)(t) = 0. Som starke_adolf konstaterar ger fallet p = q = 0 att lim |t|-->inf φ(t) = 0, vilket var kravet för att beräkningen av H' skulle fungera.
