*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Låt H(x) = 1 då x>0, 0 då x<0 (Heavisidefunktion. Genom att tolka H som en tempererad distribution, använd definitionen för att beräkna H'(x).

Lösning: Låt φ(x) vara en funktion som tillhör Schwartzklassen. Då gäller att:
H[φ(x)] = {-inf till inf}∫H(x)φ(x)dx = {0 till inf}∫φ(x)dx
H'[φ] = -H[φ'] = {0 till inf} -∫φ' dx = {0 till inf} -[φ] = -(φ(€) - φ(0)) där €--> inf.
Här blev jag osäker och kollade facit, hur vet jag att φ(x) är noll då x går mot oändligheten? Enligt definition ska det för en testfunktion på Schwartzklassen gälla att:
(i) φ(t) oändligt differentierbar på den reella talmängden
(ii) lim |t|-->inf t^p φ^(q)(t) = 0 för alla heltal p,q större eller lika med 0.
Kommer det ur (ii)? Alltså välj p=0, q=0 så lim |t|-->inf φ(t) = 0

Måste man välja en testfunktion på en delmängd till Schwarzklassen (mängden av oändligt deriverbara funktioner med kompakt stöd) för att få det att gå ihop? Då är ju säkert φ(x) är noll då x går mot oändligheten

jag fick A matrisen till
13 -10 -8
-10 13 -8
-8 -8 4
är det rätt?

Du vet att testfunktionerna φ(x) har kompakt stöd. Med kompakt stöd menas att dom är identiskt noll utanför en given begränsad mängd. Alltså går φ(x) mot noll då x går mot oändligheten. Vilket är ett av antagandena i distributionsteori.

Tentaproblem för kursen Integralkalkyl (Matte 2). Hur löser man detta?

Integrerande faktor fungerar i båda fallen. Fast i just de här fallen är vänsterledet redan derivator enligt produktregeln.

y+ xy' = (xy)'
2xy + (x^2)y' = (x^2y)'

Diagonalen ser bra ut men de elementen som inte står på diagonalen bör du dela med 2 för att få rätt svar.

Fast det vet jag väl inte? Enligt min BETA finns bara de två villkoren ovan nämnda i definitionen på φ.
För φ i S (Schwartzklassen):
(1) ger att φ är av klass C^(∞)
(2) säger inget om kompakt stöd utan bara att det där gränsvärdet ska bli noll.
Däremot finns det en delmängd D till Schwartzklassen som säger att φ i denna mängd är av klass C_0^(∞), dvs. oändligt deriverbara med kompakt stöd. Hur vet jag i sådana fall vilken mängd som jag ska ta en testfunktion från? Den tempererade distributionen är väl definierad på Schwartzklassen och inte någon delmängd till den? Det blir väl i någon mån ett "svagare" argument att lösa uppgiften i D, som bara är en del av funktionerna i S.

ok, då måste jag ha räknat fel.
detta är vad jag har räknat ut, var har jag räknat fel?
xᵀA=(xa₁₁+ya₂₁+za₃₁ xa₁₂+ya₂₂+za₃₂ xa₁₃+ya₂₃+za₂₃)
xᵀAx=(x(xa₁₁+ya₂₁+za₃₁)+y(xa₁₂+ya₂₂+za₃₂)+z(xa₁₃+y a₂₃+za₂₃))

Alla testfunktioner ligger väl i D?

Är inte defintionen av en testfunktion att den

(i) är oändligt deriverbar
(ii) har kompakt stöd

Det stämmer. Sedan multiplicerar du in x, y och x i de tre parentesuttrycken så ser du att du får exempelvis två xy-termer med koefficienterna a₂₁ och a₁₂. Således måste det gälla att a₂₁ + a₁₂ = -10, och motsvarande för xz-termerna och yz-termerna.

a₂₁ + a₁₂ = -10
måste a₂₁=-5 och a₁₂=-5, eller det går bra med t.ex a₂₁=-2 och a₁₂=-8?

I princip går det bra att ha olika värden på a₂₁ och a₁₂ så länge summan är -10. Mitt förslag om att dela med 2 handlade främst om att hitta en enkel lösning.