*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Jag brukar skriva lim_{x→∞} vilket är en blandning av klartext och LaTeX.

Ja.



Det gör det ju också till ett mer "äkta" gränsvärde i och med att det inte är ett gränsvärde av en konstant.

Bokens svar är ett exempel, långt ifrån det enda möjliga svaret.

Det mest triviala svaret enligt min åsikt är f : ℝ\{0} → ℝ, f(x) = 3, och detta är samma svar som du själv har kommit med, bara skriven på ett sätt där definitionsmängden är mer explicit.



Jag tror att du redan tänker rätt.

Beräkning som vi utför:
lim_{x→4} (x²-16)/(x-4) = { förkortning möjlig i punkterad omgivning av x = 4 }
= lim_{x→4} (x+4) = { uttryck definierat och kontinuerligt i x = 4 }
= (x+4) { med x = 4 } = (4+4) = 8.

Kontinuiteten hos x+4 gör att vi kan sätta in x = 4 och inte längre behöver tänka på gränsvärde.

Hur löser man (x⁸ + 4x + 2ˣ)/(2ˣ + x⁶ + 1) då x → ∞? Jag vet inte hur jag ska ta mig an 2ˣ.

Det räcker att veta att 2ˣ går mycket snabbare mot ∞ än något polynom. Därför kommer 2ˣ att dominera såväl täljare som nämnare och gränsvärdet blir 1.

Man kan även använda L'Hôpitals regel och derivera täljare och nämnare nio gånger. Därvid försvinner polynomdelarna, men samtidigt får man ut en konstant från 2ˣ: (2ˣ (ln 2)^9)/(2ˣ (ln 2)^9) = 1.

Ok tack så mycket.

Tjena!

Håller på att plugga inför min tenta i transformmetoder som jag har om 2 veckor (bra att ha lite framförhållning).

Uppgiften ifråga samt formelblad och lösningen som vi fick skriva av föreläsaren när vi igenom denna tenta med honom, finns på länken nedan:

http://imgur.com/a/kJdRl

Har som ni sett numrerat från 1-4 det som gör mig förvirrad, så går utifrån det.

1.

när vi har en sån här omskrivning, dvs, e^+-inpi som blir (-1)^n så är det för att vi mer eller mindre "loopar" i och med n:et. DET köper jag. Det jag ironiskt inte köpet är steget DIT. Dvs. när vi integrerar i steget innan jag markerat 1:an, till det jag precis skrev här ovan. Kommer inte exakt ihåg vad föreläsaren sa, men det ser ut som vi har tagit här en DEL av lösningen (e^+-inpi) och sedan därifrån går vi till punkt 2ö

2.

Och här blir jag förvirrad av det rödmarkerade. Var kommer alla uttryck ifrån? Första biten där, kommer uppenbarligen från uttrycket ovan i 1, där vi skrivit om e^+-inpi till (-1)^n. Rätt? Men sedan, det som följer med parentesen (e^iapi - e^-iapi), var kommer det ifrån?

3.

Är det här en omskrivning av det vi hade i punkt 2 till att skriva om det på denna form, för att det kan skrivas om från eulers form (vilket det var i punkt 2)?

4.

Den här omskrivningen kommer från 3:an, vilket verkar kunna hittas i formelsamlingen som jag bifogat i imgr bilden. Det "enda" vi gjort här (såsom jag förstått det) är att bara skriva om den enigt uttrycket på första raden där i formelsamlingen. Det som gör mig kluven däremot är att vi har sinapi/pi UTANFÖR summa-tecknet och att vårt C_n i detta fall "bara" är (-1)^n/a-n. varför?

Många frågor, men uppskattar ifall någon kunnig kan klargöra förenklingarna de gör i den här uppgiften!

God jul på er!

/Shawn

Ni ska hitta Fourierserien till f(t) = e^(iαt) på intervallet [-π, π].

Koefficienterna till den komplexa Fourierserien f(t) = ∑_{n∈ℤ} c(n) e^(int) ges av
c(n) = 1/(2π) ∫_{-π}^{π} f(t) e^(-int) dt.


Det du har markerat med 1 är bara ett kommentar i beräkningen. Det är alltså inte resultatet av föregående led.

Vid 2 har man först satt in integrationsgränserna i den primitiva funktionen, sedan faktoriserat e^(i(α-n)π) = e^(iαπ) e^(-inπ) och e^(i(α-n)(-π)) = e^(-iαπ) e^(inπ), dä'refter använt e^(inπ) = e^(-inπ) = (-1)^n och slutligen brutit ut faktorn (-1)^n.

Vid 3 har man använt att e^(iu) - e^(-iu) = 2i sin(u).

Vid 4 har man satt in de beräknade uttrycken för c(n) i Fourierserien för f(t). Eftersom faktorn sin(απ)/π är gemensam för alla c(n) och inte beror av n kan faktorn brytas ut ur hela summan.


Här har jag skrivit ned en utförlig beräkning av integralen (faktorn 1/(2π) utelämnad):
∫ f(t) e^(-int) dt
= ∫_{-π}^{π} e^(iαt) e^(-int) dt
= ∫_{-π}^{π} e^(i(α-n)t) dt
= { om α-n ≠ 0 }
= [ e^(i(α-n)t) / (i(α-n)) ]_{-π}^{π}
= ( e^(i(α-n)π) - e^(i(α-n)(-π)) ) / (i(α-n))
= ( e^(iαπ) e^(-inπ) - e^(-iαπ) e^(inπ) ) / (i(α-n))
= ( e^(iαπ) (-1)^n - e^(-iαπ) (-1)^n ) / (i(α-n))
= (-1)^n ( e^(iαπ) - e^(-iαπ) ) / (i(α-n))
= (-1)^n ( 2i sin(απ) ) / (i(α-n))

Notera villkoret α-n ≠ 0. I fallet α-n = 0, dvs α är ett heltal, blir integralen ∫_{-π}^{π} 1 dt = 2π.

Hmm..Varför är det så?

Någon som lust att bevisa att (aˣ/xⁿ) → ∞ då x → ∞ där a > 1 och n > 0? Jag förstår inte riktigt beviset i min bok.

Utvecklar och faktoriserar

x³ - x(8x - 16) = 0 ⇔ x³ - 8x² -16 = 0 ⇔ x(x² - 8x - 16) = 0

Nollproduktsmetoden

x_1 = 0

PQ-formeln

(x² - 8x - 16) = 0

x = 4 ± √((4)² + 16)

x_2 = 4 + √(32)

x_3 = 4 - √(32)

Har jag gjort rätt? Hur ska man tänka vid lösande av tredjegradspolynom? Vad hade jag exempelvis gjort om HL inte var lika med 0?

Hur kan man se att värdemängden till funktionen f(x) = (2x + 3)/(x -5) är y får inte vara 2? Ser det grafiskt, men hur ser man det algebraiskt? (Om y [eller f(x)] inte får vara 2 kan man ju tänka sig att funktionen antar 2 när x antar 5 vilket inte är definierat, men så är det inte: (2*5 + 3)/(5-5) = 13/0).