*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Jag löste den genom att finna MGN, x^2 + 2x - 8, och sedan sätta täljarna lika då detta måste gälla om de är skrivna med samma nämnare. Vad menar du med det fetmarkerade, att man kontrollerar att det inte blir nolldivision?

Under förutsättning att du har förlängt termerna så att nämnarna blivit MGN, så ger metoden i princip samma ekvation som med min metod.

Påpekande: Oftast är det en fördel att inte multiplicera ihop faktorer, så låt nämnaren vara (x+4)(x-2).


Precis. Skulle det bli nolldivision är kandidaten ingen lösning.

Okej. Varför är det en fördel att inte multiplicera ihop faktorer? Kan tänka mig att det beror på att det blir enklare att se om man kan stryka hela faktorer som (x+2) eller liknande.

Precis.

I min bok står det så här:

Jag förstår hur de menar och kan se om en funktion är kontinuerlig eller inte, men hur menar de att sambandet mellan definitionsmängd och kontinuitet hänger ihop? Hur kan man veta om en funktion är kontinuerlig eller inte? Varför är just polynomfunktioner kontinuerliga?

Det står även så här:


De nämner även att rationella funktioner som regel är diskontinuerliga. Varför är det så? Jag förstår inte riktigt hur man ska bestämma, eller veta, om en funktion är kontinuerlig eller diskontinuerlig. Man kan ju inte bara luta sig bakom de "regler" som ges i boken, dvs. att polynomfunktioner är kontinuerliga medan rationella funktioner är diskontinuerliga.

Sen kan man ju tro att en funktion är kontinuerlig, såsom (x^2 - 4)/(x-2) = x + 2, trots att den inte är det (funktionen ovan är inte definierad för x = 2). Är det så att kontinuerliga funktioner är definierade för alla x inom ett givet intervall?

Varifrån får du att det skulle finnas ett samband mellan definitionsmängd och kontinuitet?


En funktion är kontinuerlig om den uppfyller definitionen av kontinuitet. I vissa fall behöver man gå ända till definitionen för att visa att en funktion är kontinuerlig, men i de flesta fall kan man utgå från vissa regler:

1. polynomfunktioner är kontinuerliga,
2. funktionerna sin, cos, e^x är kontinuerliga,
3. om f och g båda är kontinuerliga så är f + g och f - g kontinuerliga,
4. om f är kontinuerlig och c en konstant så är c f(x) kontinuerlig,
5. om f och g båda är kontinuerliga så är f(g(x)) kontinuerlig.

Detta är inte riktigt sant. Sant är att de ofta har ett hopp mellan positiva och negativa oändligheten på ett antal ställen, nämligen där polynomet i nämnaren har ett nollställe.

Men framförallt är de rationella funktionerna odefinierade i de här punkterna. Och det gör att de egentligen inte är diskontinuerliga där eftersom en funktion bara kan vara diskontinuerlig där den är definierad. På gymnasienivå brukar man dock för enkelhets skull säga att en funktion är diskontinuerlig om grafen är bruten.


Definition: f är kontinuerlig i a om lim_{x→a} f(x) = f(a).
Definition: f är kontinuerlig på en mängd A om f är kontinuerlig i varje a ∈ A.
Definition: f är kontinuerlig om f är kontinuerlig på hela definitionsmängden.


Funktionen f(x) = (x²-4)/(x-2) är inte definierad i x = 2, men strikt taget är den kontinuerlig.
Funktionen g(x) = f(x) om x ≠ 2, g(2) = 0 är definierad för alla x, men är inte kontinuerlig i x = 2.
Funktionen g(x) = f(x) om x ≠ 2, g(2) = 4 är definierad för alla x, och är kontinuerlig i x = 2.

När man löser trigonometriska ekvationer så stöter man t.ex på termen n·2π där n ∈ ℤ. I vissa fall måste man dock dividera och/eller multiplicera n·2π med ett godtyckliga tal för att lösa ut en variabel. Jag tycker inte att det är väldigt uppenbart att detta är något man måste göra. Varför göra man det? Finns det någon förklaring till detta som göra det lättare att förstå? Varför är t.ex. inte n·2π "immun" mot förändring? Det är ju en väldigt unik term så för mig är inte detta uppenbart.

Det uppstår om du har ekvationer såsom sin(3x) = 1, där koefficienten framför x inte är 1.
Lösningarna blir i det här fallet 3x = π/2 + n 2π, där n är ett heltal.
Division med 3 ger nu x = π/6 + n 2π/3, där n är ett heltal.

Värdena x = π/6 + n 2π, där n är ett heltal, utgör också lösningar (det är en delmängd av lösningsmängden ovan), men den ger inte samtliga lösningar.

Du kan själv testa och bekräfta att x = 5π/6 är en lösning till sin(3x) = 1, och att denna lösning kan skrivas på formen x = π/6 + n 2π/3 men inte på formen x = π/6 + n 2π, där n är ett heltal.

Tack för inlägget. Är detta något som man kan bevisa eller är det återigen något alldeles för uppenbart?

Jag vänder frågan tillbaka till dig:

• Är det uppenbart att sin(u) har lösningar med perioden 2π? (Alltså om u = a är en lösning så är även u = a + 2π en lösning.)
• Är det uppenbart att kx = v om och endast om x = v/k?
• Finns det någon anledning till att om kx = v + n 2π så ska endast en av termerna divideras med k när man "löser ut" x? (Alltså, borde lösningen ges av x = v/k + n 2π, och i så fall: varför ska inte n 2π dividieras med k?)

Detta inlägget fick min att tänka efter lite. På något sätt känns det mer logiskt nu i alla fall. Tack så mycket.

http://m.imgur.com/gallery/KD9Y9Ed

Fråga 3218