*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Den generella metoden verkar du känna till.

Man får ansätta 2/[(z-3)(z-2)(z-1)] = a/(z-1) + b/(z-2) + c/(z-3) och sedan förlänga i högerledet.

a/(z-1) + b/(z-2) + c/(z-3) = [a(z-2)(z-3) + b(z-1)(z-3) + c(z-1)(z-2)]/[(z-3)(z-2)(z-1)] = 2/[(z-3)(z-2)(z-1)]

Alltså blir

[a(z-2)(z-3) + b(z-1)(z-3) + c(z-1)(z-2)] = 2

az² - 5az + 6a + bz² - 4bz + 3b + cz² - 3cz + 2c = 2

Koefficienterna för z², z och konstanten måste var för sig vara lika, vilket ger

a + b + c = 0
-5a - 4b - 3c = 0
6a + 3b + 2c = 2

Härifrån är det bara ekvationssystemslösning. Addera andra och tredje raden ser ut att vara ett bra första steg, och sedan addera resultatet med första raden.

Aha! Tack

Tack så mycket! Jag gjorde precis som du men dum som jag är så skrev jag inte ut de två första ekvationerna i systemet, så det blev olösligt (såklart). Förhoppningsvis gör jag aldrig om det nu.

Kan jag göra så här, (x-a)^2 = x^2 -2ax +a^2
sedan har jag x^2 -4x

-4x/x = -2ax/x
-4 = -2a
a = 2?

sedan samma sak med y?

det skulle bli (x-2)^2 + (y-1)^2 = -1

Om det stämmer så förstår jag inte vad som händer med (x-a)^2 = om a skulle vara 2 då skulle det ju bli x^2 -4x + 4. Så jag antar att jag har gjort fel.

Hur kan man bevisa att (f ∘ f^-1)(x) = x gäller för en godtycklig injektiv funktion?

x² - 4x + y² - 2y = (x - 2)² - 4 + (y - 1)² - 1 = -1 ⇔ (x - 2)² + (y - 1)² = 4.
D.v.s. r² = 4 ⇒ r = 2 l.e. och cirkelns mittpunkt har koordinaterna (2, 1).

På sådana uppgifter ska du kvadratkomplettera och föra över resterande konstanter till den andra sidan av likhetstecknet där du då får fram värdet av cirkelns radie i kvadrat. Cirkelns ekvation är baserad på Pythagoras sats. Rita upp ett koordinatsystem med en cirkel så är det lättare att förstå.

Tack! Varför blir det -4 och -1?

Vänsterledet består inledningsvis utav x² - 4x och y² - 2y. Dessa uttryck ska kvadreras för att avläsa mittpunktens koordinater enligt cirkelns ekvation. För att t.ex. kvadrera x² - 4x så måste man ju lägga till 4 eftersom att x² - 4x + 4 = (x - 2)². För att inte ändra värdet på uttrycket så måste man ju subtrahera fyra också. D.v.s. man lägger till fyran för att kunna kvadrera uttrycket som innehåller x men man måste ju också ta bort en fyra för att ha kvar samma värde på vänsterledet. Alltså x² - 4x = x² - 4x + 4 - 4 = (x - 2)² - 4.

Då förstår jag. Tack!

om man ritar upp y = x^3 och y = x^2 så kan man se att x^3 < x^2 i intervallet 0<x<1 för vilket x värde i intervallet är skillnaden störst?

Det gäller per definition av f^(-1).

f(x) = x² - x³ ⇒ f′(x) = 2x - 3x² ⇒ f′′(x) = 2 - 6x. Definitionsmängd: 0 < x < 1.

f′(x) = 2x - 3x² = x(2 - 3x) = 0 ⇒ 3x = 2 ⇔ x_1 = 2/3, x_2 = 0.

f′′(2/3) = 2 - 6*2/3 = 2 - 12/3 = 2 - 4 = -2.

f(2/3) = (2/3)² - (2/3)³ = 4/9 - 8/27 = 12/27 - 8/27 = 4/27 l.e.