Hej kära FB-medlemmar!
Sitter på en kluring där jag ska bestämma en funktions största och minste värde med ett bivillkor.
f(x,y) = xy^2 - 2x^2-y^2 och g(x,y) = x^2+y^2 - 8 = 0 där definitionsmängden begränsas av g(x,y). Även värdemängden skall bestämmas.
Alternativen för maximala värden torde erhållas vid stationära punkter i f(x,y), randpunkter genom g(x,y). Hörnpunkter är inte aktuellt då det rör sig om en cirkel i bivillkoret (eller?
)
Nåväl, hoppar direkt på deriveringen.
f´_x = y^2-4x --> y^2-4x = 0
f´_y = 2xy-2y --> 2y(x-1) = 0
Således torde stationära punkter bestå av [0,0], [1,2] samt [1,-2]. Dessa kan vara kandidater.
Genom Jacobis determinant tecknar vi
(f´x)(g´y)-(f´y)(g´x) för att bestämma eventuell randpunkt enligt villkoret g(x,y) = y^2+x^2-8=0
g´_x = 2x
g´_y = 2y
varvid ovanstående uttryck antar formen
2y^3 - 8xy - 4yx^2 + 4xy = 0
2y^3-4xy-4yx^2 = 0
Vi kan visserligen faktorisera ut 2y(y^2-2x-2x^2) men kommer det hjälpa oss? Ska man genom det anta att i g(x,y) ansätts y som 0?
Nu kommer min fråga. Hur går jag vidare? Jag vill försöka lösa ut antingen x eller y för att sätta in i g(x,y) men jag kommer inte längre än så här. Några tips? Hur bestäms värdemängden för denna funktion? Ber om ursäkt för dåligt matematiskt språk, hoppas ingen tar illa vid sig
(Facit säger att minsta värde antas genom f(-2,2) och f(-2,-2) medan största värde erhålls genom f(0,0).
Sitter på en kluring där jag ska bestämma en funktions största och minste värde med ett bivillkor.
f(x,y) = xy^2 - 2x^2-y^2 och g(x,y) = x^2+y^2 - 8 = 0 där definitionsmängden begränsas av g(x,y). Även värdemängden skall bestämmas.
Alternativen för maximala värden torde erhållas vid stationära punkter i f(x,y), randpunkter genom g(x,y). Hörnpunkter är inte aktuellt då det rör sig om en cirkel i bivillkoret (eller?
)Nåväl, hoppar direkt på deriveringen.
f´_x = y^2-4x --> y^2-4x = 0
f´_y = 2xy-2y --> 2y(x-1) = 0
Således torde stationära punkter bestå av [0,0], [1,2] samt [1,-2]. Dessa kan vara kandidater.
Genom Jacobis determinant tecknar vi
(f´x)(g´y)-(f´y)(g´x) för att bestämma eventuell randpunkt enligt villkoret g(x,y) = y^2+x^2-8=0
g´_x = 2x
g´_y = 2y
varvid ovanstående uttryck antar formen
2y^3 - 8xy - 4yx^2 + 4xy = 0
2y^3-4xy-4yx^2 = 0
Vi kan visserligen faktorisera ut 2y(y^2-2x-2x^2) men kommer det hjälpa oss? Ska man genom det anta att i g(x,y) ansätts y som 0?
Nu kommer min fråga. Hur går jag vidare? Jag vill försöka lösa ut antingen x eller y för att sätta in i g(x,y) men jag kommer inte längre än så här. Några tips? Hur bestäms värdemängden för denna funktion? Ber om ursäkt för dåligt matematiskt språk, hoppas ingen tar illa vid sig
(Facit säger att minsta värde antas genom f(-2,2) och f(-2,-2) medan största värde erhålls genom f(0,0).
Citat:
Hej kära FB-medlemmar!
Sitter på en kluring där jag ska bestämma en funktions största och minste värde med ett bivillkor.
f(x,y) = xy^2 - 2x^2-y^2 och g(x,y) = x^2+y^2 - 8 = 0 där definitionsmängden begränsas av g(x,y). Även värdemängden skall bestämmas.
Alternativen för maximala värden torde erhållas vid stationära punkter i f(x,y), randpunkter genom g(x,y). Hörnpunkter är inte aktuellt då det rör sig om en cirkel i bivillkoret (eller?)
Nåväl, hoppar direkt på deriveringen.
f´_x = y^2-4x --> y^2-4x = 0
f´_y = 2xy-2y --> 2y(x-1) = 0
Således torde stationära punkter bestå av [0,0], [1,2] samt [1,-2]. Dessa kan vara kandidater.
Genom Jacobis determinant tecknar vi
(f´x)(g´y)-(f´y)(g´x) för att bestämma eventuell randpunkt enligt villkoret g(x,y) = y^2+x^2-8=0
g´_x = 2x
g´_y = 2y
varvid ovanstående uttryck antar formen
2y^3 - 8xy - 4yx^2 + 4xy = 0
2y^3-4xy-4yx^2 = 0
Vi kan visserligen faktorisera ut 2y(y^2-2x-2x^2) men kommer det hjälpa oss? Ska man genom det anta att i g(x,y) ansätts y som 0?
Nu kommer min fråga. Hur går jag vidare? Jag vill försöka lösa ut antingen x eller y för att sätta in i g(x,y) men jag kommer inte längre än så här. Några tips? Hur bestäms värdemängden för denna funktion? Ber om ursäkt för dåligt matematiskt språk, hoppas ingen tar illa vid sig
(Facit säger att minsta värde antas genom f(-2,2) och f(-2,-2) medan största värde erhålls genom f(0,0).
Sitter på en kluring där jag ska bestämma en funktions största och minste värde med ett bivillkor.
f(x,y) = xy^2 - 2x^2-y^2 och g(x,y) = x^2+y^2 - 8 = 0 där definitionsmängden begränsas av g(x,y). Även värdemängden skall bestämmas.
Alternativen för maximala värden torde erhållas vid stationära punkter i f(x,y), randpunkter genom g(x,y). Hörnpunkter är inte aktuellt då det rör sig om en cirkel i bivillkoret (eller?
)Nåväl, hoppar direkt på deriveringen.
f´_x = y^2-4x --> y^2-4x = 0
f´_y = 2xy-2y --> 2y(x-1) = 0
Således torde stationära punkter bestå av [0,0], [1,2] samt [1,-2]. Dessa kan vara kandidater.
Genom Jacobis determinant tecknar vi
(f´x)(g´y)-(f´y)(g´x) för att bestämma eventuell randpunkt enligt villkoret g(x,y) = y^2+x^2-8=0
g´_x = 2x
g´_y = 2y
varvid ovanstående uttryck antar formen
2y^3 - 8xy - 4yx^2 + 4xy = 0
2y^3-4xy-4yx^2 = 0
Vi kan visserligen faktorisera ut 2y(y^2-2x-2x^2) men kommer det hjälpa oss? Ska man genom det anta att i g(x,y) ansätts y som 0?
Nu kommer min fråga. Hur går jag vidare? Jag vill försöka lösa ut antingen x eller y för att sätta in i g(x,y) men jag kommer inte längre än så här. Några tips? Hur bestäms värdemängden för denna funktion? Ber om ursäkt för dåligt matematiskt språk, hoppas ingen tar illa vid sig
(Facit säger att minsta värde antas genom f(-2,2) och f(-2,-2) medan största värde erhålls genom f(0,0).
För att hitta extremvärden längs randen av bivillkoret g så kan du substituera x² + y² = 8 i uttrycket för f(x,y).
f(x,y) = xy² - 2x² - y² = xy² - x² - x² - y² = xy² - x² - 8
Vidare är y² = 8 - x², så funktionen kan skrivas om till
f(x,y) = x(8 - x²) - x² - 8 = 8x - x³ - x² - 8
När funktionen på det här sättet omvandlats till en funktion som bara beror på x så kan du hitta extremvärden som vanligt, med bivillkoret att -√8 ≤ x ≤ √8 för att uppfylla det ursprungliga bivillkoret.
Skapa ett konto eller logga in för att kommentera
Du måste vara medlem för att kunna kommentera