*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Vad är det egentligen för väsentlig skillnad mellan kvadratkomplettering och ekvationslösnings m.h.a PQ-formlen? Jag härledde precis PQ-formeln m.h.a kvadratkomplettering och PQ-formeln känns som om den är ett "färdigt paket" av kvadratkomplettering.

Många upplever PQ-metoden som enklare då den är mer rakt på.

Vilken ekvation syftar du på? Om du syftar på x^3 = 16x så är det väl smidigast så som du gjort. Finns nog inte så många sätt att lösa den annorlunda på, om du inte hittar på något riktigt funky.

Det är för att pq-formeln i någon mening är ett "färdigt paket av kvadratkomplettering" som du märkt när du härlett den. Skillnaden är, som du redan själv påpekat, att pq-formeln är mer mekanisk och rakt på sak (läs formel). Du kan använda den utan att egentligen förstå varför, men det är bra att du har härlett den så att du vet vad den kommer från. Reslutatet blir naturligtvis detsamma oavsett metod. Enligt mig är kvadratkomplettering ett lite bredare verktyg än pq-formeln, då du kan ha användning för den vid exempelvis förenkling också. I just rotfallet är det väl lite av en smaksak, det är bra att kunna båda två! Pq-formeln är mer plug-and-play.

PQ-formeln är som du skriver ett resultat av kvadratkomplettering, omflyttning och rotutdragning. Den väsentliga skillnaden är att när man kvadratkompletterar och löser ekvationen på så vis vet man vad man gör, innan man sett härledningen är PQ-formeln en magisk algoritm.

andra ordningens linjära diff.ekv, förstå exempel

försöker förstå ett exempel från boken men fattar inte hur de kmr fram till svaret eller vrf de gör som de gör?


BOKEN
exempel: y'' + 4y = sin(t), ' = d/dt
allmän lösning: (1/3)sin(t) + C1*cos(2t) + C2*sin(2t)

Står såhär i boken: y'' + 4y = 0 har allmän lösning y = C1*cos(2t) + C2*sin(2t)

y = yp + yh = yp + C1y1(x) + C2y2(x)

y1(x) och y2(x) är två oberoende lösningar.

MITT TANKESÄTT
Min egen lösning:
r^2 + 4r = 0 ger r1 = 0 , r2 = -4

två olika rötter skrivs på formen: y=Ae^(r1t) + Be^(r2t) => y=Ae^(0t) + Be^(-4t) => y=A + Be^(-4t)

FRÅGOR
1. Hur kmr boken fram till att den homogena lösningen = C1*cos(2t) + C2*sin(2t)? Detta är ju formen för om r skulle vara på formen r = k + wi eller r = k + wi.

2. Vad gör ' = d/dt för skillnad mot att det skulle ha varit ' = dy/dt i denna uppgift?

3. Jag vet hur jag räknar fram yh men hur räknar jag fram C1y1(x) + C2y2(x)?

Delen som jag markerat med fetstil och understrykning ovan är fel. Det skulle ha varit 4r om differentialekvationen varit y'' + 4y' = 0, men eftersom den är y'' + 4y = 0 (dvs y snarare än y') så blir den karaktäristiska ekvationen r² + 4 = 0, som ju har imaginära rötter.

Jag förstår härledningen och vet varför alla termer finns med i "den magiska algoritmen"

Hur löser man denna uppgiften?

Visa det trigonometriska sambandet.

tan (x/2) = (1-cos x)/(sin x)

Jag hade låtit x = 2y då ska vi visa:

tan y = (1 - cos(2y))/sin(2y)

1-cos(2y)=1-(cos^2(y)-sin^2(y))=cos(y)^2+sin(y)^2-(cos(y)^2-sin(y)^2))=2sin(y)^2

tan y = 2sin(y)^2/sin(2y), nu är sin(2y)=2 sin y cos y:

tan y = 2 sin(y)^2/(2 sin y cos y)
= sin(y)/cos(y). Använder dubbla vinkeln formeln för cos och sin samt trigonometriska ettan.

Hur gör man denna?

Lös ekvationen cos 3x = 1/(√(2)).

Om du kollar i en tabell för trigonometriska standardvärden så finner du att 1/√(2) svarar mot 45 grader för cosinus.

Du har att cos 3x = 1/√(2) alltså måste 3x = 45. Men om du kollar på enhetscirkeln så ser du att även -45 grader ger samma cos-värde. Och om du skulle addera ett helt varv till 45 eller -45 grader så får du även då samma cos-värde. Sammanfattning:

3x = +-45 + n*360, där n är ett heltal.

x = +-15 +n*120 (SVAR)