*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Om Maclaurinutvecklingen är korrekt gäller då att

f(x) = x⁴/8 + O(x⁵) = x⁴ · (1/8 + O(x))

Eftersom

O(x) → 0 då x → 0

så finns en omgivning kring x = 0 s.a.

|O(x)| < 1/8

Därmed beter sig funktionen f som x⁴ tillräckligt nära noll och har alltså ett minimum i punkten.

Okej så man bryter ut den som går mot 0 snabbast i det man fick fram från maclaurinutvecklingen? Men sen är jag inte helt på med på hur du ser att det är ett minimum sen.

Det stämmer. Jag skrev en motivering till hur man ser att det är ett minimum i första svaret, något särskilt du tänkte på som var oklart? När x är tillräckligt litet beter sig funktionen övervägande som en x⁴-kurva som har ett minimum, alltså har funktionen ett minimum i punkten

http://www.ladda-upp.se/files/2015/b144834.jpg

Hej. Jag funderar över frågorna
a) för vilka x är funktionen avtagande?
Jag tänker: Den är avtagande för x är större eller lika med 2. Och avtagande för x är mindre eller lika med -2.
Enligt facit är funktionen avtagande för x är mindre eller lika med 0. Alltså jag har rätt i mitt första påstående men det andra är tydligen fel och det förstår jag inte.

c) är f'(-2), positiv, negativ eller noll?
Mitt svar: = 0

Svar enligt facit: negativ. Derivatan är ju 0 där så varför skriver dom negativ?

Aha okej så det är bara tecknet framför den termen som dominerar som spelar roll? Om man hade haft -x^4 hade det varit maximum.

Hur hittar jag det maximala värdet för en primitiv funktion? Jag har 3*t^2-t^3 och det maximala värdet borde bli 2 mellan värdena 0 och 3, men hur kan jag komma fram till det?

Det du skriver ovan stämmer överens med tabellen i bilden du länkar. Är du säker på att du kollar på facit för rätt uppgift?

Derivera som vanligt och sätt derivatan till noll.

F(t) = 3*t^2-t^3
F'(t) = 6*t-3*t^2
F'(t) = 0 ⇔ 6*t-3*t^2 = 0 ⇔ t_1 = 0; t_2 = 2

F(t_1) = 0; F(t_2) = 3*2^2 - 2^3 = 12 - 8 = 4

Om du egentligen menar att du skall hitta maxvärdet för den primitiva funktionen till 3*t^2-t^3 så är det istället 3*t^2-t^3 som skall vara lika med noll, vilket leder till t_1 = t_2 = 0; t_3 = 3 och primitiva funktionen är t^3-(t^4)/4 och har därför värdet 3^3 - (3^4)/4 = 27 - 81/4 = 6.75 för t_3 = 3.

Tack tack för svaret, men tror det hjälper om jag faktiskt skriver hela frågan:

"Inflödet i och utflödet u till/från en från början tom 5-literstank varierade under följande 3 minuter med tiden t (min) som i i(t)=6t respektive u(t)=3t^2 (lit/min). Hur mycket innehöll tanken efter 1 minut? Hur full var tanken som mest, och när?"

Inflödet-utflödet= vattnet som finns i tanken. Detta ger att efter 1 min är det: 3t^2-t^3 för t=0 och t=3, vilket ger att det är 2 liter i tanken efter 1 minut.

Och nu till den frågan jag hade tidigare. Hur mycket vatten finns som mest under dessa tre minuter, och när? Jag får att efter 2 minuter finns 3*2^2-2^3= 12-8 = 4. Om man sedan testar 1.9 eller 2.1 så ser man att värdet sjunker. 2 liter borde alltså vara svaret?

Du har räknat rätt men förmodligen skrivit fel i sista meningen - det skall vara 4 liter vid t = 2 minuter.

Japp, råkade skriva fel. Svaret är antagligen rätt, men hur räknar jag ut att det är vid exakt 2min. Jag vet att det sjunker vid 1.9 och 2.1 minuter, men det skulle lika väl kunna vara vid 2min och 1 sekund. Hur räknar jag ut det?

Det följer av att 6*t-3*t^2 = 0 för t = 2 (dvs förstaderivatan av volymen vatten). Vidare kan man se att detta är ett maximum eftersom derivatan av detta (vilket är andraderivatan av volymen vatten) blir 6 - 6t = -6 för t = 2. Eftersom det är negativt så är t = 2 ett lokalt maximum. Vidare, eftersom volymen är mindre både vid t = 0 och vid t = 3 (ändpunkterna för det tidsintervall som uppgiften gäller) så är t = 2 ett globalt maximum för den här uppgiften, vilket skulle visas.