*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

0=-(10+ε/2)+2a
-2a=-(10+ ε/2)
-2a=10- ε/2
-10-2a=- ε/2

Känns som att jag bara bollar fram och tillbaka utan att få fram något vettigt. I denna ekvation går det väl inte att "räkna ut" a och ε som numeriska värden utan dessa två obekanta måste väl bli kvar i mitt slututtryck? Eller får jag använda att jag vet att a=5 i detta fall?

Jag ska avgöra med en jämförelsesats om följande integral är konvergent.
[; \int_{0}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{x}(e^{x}+1)}dx ;]

Den är generaliserad både i 0 och oändligheten. Om man velat räkna ut konvergensen hade det nog gått att dela upp den i två fall, 0-1, 1-oändligheten. Men det är ju inte själva värdet jag är ute efter egentligen.

Det är fortfarande en god idé att dela upp integralen i de två delar du föreslår. Sedan använder du jämförelsesatsen på dessa delar var för sig.

Du ska hitta en punkt (a,b) på funktionen y=1/x som har samma lutning som lutningen mellan (a,b) och (10,0). Börja med att hitta lutningen mellan (a,b) och (10,0). Δy/Δx = (b-0)/(a-10) = b/(a-10)

Lutningen på funktionen blir derivatan dvs. y' = -1/x^2. Då blir lutningen i punkten x=a -1/a^2.
Eftersom lutningen ska vara lika på båda ställena så sätter vi ekvationerna mot varandra.

b/(a-10) = -1/a^2. Eftersom vi vet ett förhållande mellan punkten (a,b) dvs. b=1/a så löser vi ut b från ekvationen och vi får 1/(a^2-10a) = -1/a^2. Ekvationen får du lösa själv. När du väl hittat a så är b enkel att få ut genom b=1/a.

Uppgift b är i stort sett samma sak. Enda skillnaden är att punkten (10,0) har en tolerans kan man säga. Räkna ut vilken punkt (c,d) du får om du istället för (10,0) sätter (10-e,0) och sedan en till punkt (e,f) du får om du sätter den till (10+e,0) Då kommer du får ett intervall i x-led och y-led där piloten kan träffa sitt föremål Lycka till

Jag försökte, men kommer inte vidare sen. Att hitta en primitiv till funktionen som den ser ut verkar inte gå? Man kanske ska skriva om funktionen så att den är ungefär samma som en enklare för små x, och en annan variant för stora, men jag lyckas inte se vilken faktor som dominerar i de två fallen.

Aha, det har klarnat! Har en till faktiskt som jag sitter fast på:

http://imageshack.com/a/img908/4903/HDInks.png

Någon som kan?

Då 0 < x < 1 så är e^x + 1 > 1 alltså gäller det att

[; \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(e^{x}+1)}dx < \int_{0}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx ;]

När x > 1 så är

[; \int_{1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{x}(e^{x}+1)}dx < \int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x + 1} dx < \int_{1}^\infty \frac{1}{e^x} dx ;]

Börja med att testa och se om du kan se något mönster. Beräkningar ger att:
a_2=3/4
a_3=4/5
a_4=5/6

Dvs att både täljare och nämnare ökar med 1 för varje element i talföljden.

En sluten formel för detta borde kunna skrivas som

a_n=(n+1)/(n+2)

Induktionsbeviset lämnar jag åt dig

Börja med att testa och se om du kan se något mönster. Beräkningar ger att:
a_2=3/4
a_3=4/5
a_4=5/6

Dvs att både täljare och nämnare ökar med 1 för varje element i talföljden.

En sluten formel för detta borde kunna skrivas som

a_n=(n+1)/(n+2)

Induktionsbeviset lämnar jag åt dig