*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Säg att vi definierar R^3 som mängden av alla reella triplar,

R^3 = {(x,y,z): x,y,z∈R }

med räknereglerna

(x,y,z) + (u,v,w) = (x+u,y+v,z+w)
k(x,y,z) = (kx,ky,kz).

Innan vi påstår att R^3 är ett vektorrum bör vi visa att R^3 (definierat enligt ovan) uppfyller axiomen för ett abstrakt vektorrum. Eller hur?

3x^2 + 3y^2 = 4 - x^2 -y^2
<=>
4x^2 + 4y^2 = 4
<=>
x^2 + y^2 = 1

Oj jag är en idiot... hade skrivit fel i mitt egen försök. Tack så mycket för hjälpen .

Ett vektorrum är en abelsk grupp och och en kropp och dessa ska uppfylla vissa villkor. Inte utan en rad antaganden av vad du tänker dig framgår det av vad du skriver ovan vad som du avser vara den abelska gruppen och vilken kropp du har i tankarna och vilka operationer du tänker dig.

Okej men då blir f injektiv och surjektiv. G är inte injektik. g är surjektiv för att det finns minst ett naturligt tal(x tillhör N) för varje y tillhör N som uppfyller f(x) = y. Så för varje naturligt tal som finns som man stoppar in i g, så kommer man få varje naturligt tal från funktionerna i g. T.ex g(0) ger 0/2=0. g(1) ger 1-1/2=0, här ser vi att 2 olika x tillhör N ger samma y värde, och i en surjektiv funktion får det finnas detta eftersom det enligt funktionen är "minst ett" som gäller. För g(2) får vi 2/2=1, g(3) får vi 3-1/2 = 2, g(4) ger 4/2 = 2, g(5) ger 5-1/2 = 2, g(6) ger 6/2=3 osv. Så alla y som vi får ut kommer innehålla alla naturliga tal, så därför är den surjektiv.

Jag skrev "reella" tripplar, och dessutom x,y,z∈R, för att indikera att räknereglerna för reella tal gäller för komponenterna i tripplarna. Kropp = R.

Jaså du tänkte dig R som kropp? Och hur verkar ett element i R på ett element i din abelska grupp?

Du missar poängen ...

Det finns mängder av exempel på konstruktioner av konkreta vektorrum/linjära rum där det à priori inte är uppenbart att axiomen för ett abstrakt vektorrum/linjärt rum är uppfyllda. Detta måste alltså i sådana fall visas.

Alltså det jag menar är att vi har distributiva lagen som lyder att

k(a+b) = ka+ kb

Den kan vi ju visa att den även gäller för vektorer på det sättet jag gjorde tidigare, eller?

Jag hade ju flera uppgifter om detta och jag antar att Howard Anton inte skulle skapa dessa om de redan är fundamentala saker som ej ska bevisas även om jag tror att jag förstår din poäng i det hela. Du får ha i åtanke att jag bara går första året på en civ.ing utbildning så jag har inte nått allt för hög nivå inom detta än.

Frågeställningen började med en frank självbekännelse av alivedude:

"Tänkte ta tag i det här med att bevisa diverse teorem och kom fram till att jag fullständigt suger på detta. Hur sjutton ska man tänka när man ska bevisa satser?"

Jag är ju rätt ny här men tänkte att ett sådant rop på hjälp bör tas på högsta allvar här på flashback.
Sedan fortsätter frågeställningen med en skiss av något som alivedude tänker sig ska bevisas:

"Om k och l är skalärer och och v är en vektor så gäller (k+l)v = kv + lv

Hur bevisar jag detta?"

Det enda ärliga svaret på detta är det jag gav, dvs. det är en del av definitionen av vektorrum och därför blir beviset kort.

Sedan fortsätter visserligen alivedude med en precisering:

"Är jag på rätt väg om jag tänker såhär?

(k+l)v= (k+l) (v1, v2 ,v3... vn) =(k+l)v1, (k+l)v2 ..... (k+l)vn = (kv1+lv1), (kv2+lv2) osv osv och sedan förenkla till kv+lv = HL?"

Här kan givetvis tankarna gå till R^n (med de definitioner som krävs för att den direkta summan av n kopior av R ska bli ett vektorrum över R), men det är verkligen inte säkert att det är denna konstruktion som avses.

Dock tar innesko frågeställningen som om den handlar om R^n. Han utgår från den välkända definitionen av R^n som vektorrum, som han dock inte går in på, och tycker sig kunna identifiera något (ett bevis???) ur alivedudes manipuleringar av k, l och vi.

Sedan postar du Nail ett inlägg med slutklämmen: "Innan vi påstår att R^3 är ett vektorrum bör vi visa att R^3 (definierat enligt ovan) uppfyller axiomen för ett abstrakt vektorrum. Eller hur?"

Detta mot bakgrund av att du i någon mer detalj har presenterat en konstruktion av R^n (med n=3) som vektorrum.



Nu gäller dock alivedudes frågeställning egentligen bevis, hur dessa fungerar etc. och det här med vektorer är bara ett exempel. Med detta i åtanke så tänkte jag att det vore bra att tänka igenom vad som är givet, hur är detta formulerat, vad är explicit, vad är bara taget för givet?
Därför har jag understrukit den abstrakta karaktären hos "vektorrum".
Nu påstår du Nail att jag har missat poängen, som enligt dig är att man ibland har en algebraisk konstruktion (inte explicit presenterad som ett vektorrum) och att det gäller att visa att denna också
uppfyller villkoren för ett vektorrum.
Men jag tror mig vara högst medveten om detta och min serie av frågor har avsett att dels, med tanke på att frågeställningen gäller bevis, betona den abstrakta karaktären av vektorrumsbegreppet och dels, med tanke på att den konstruktion som antyds hos alivedude, preciseras av innesko och ytterligare förfinas av dig Nail, betona att den ännu inte har givits en definition som gör det möjligt att avgöra om den är ett vektorrum.

Jag har en till rackare som jag måste bevisa!

"Bevisa att om u1. u2,..... un är parvis ortogonala vektorer i R^n så gäller att

ll u1 + u2 + ..... +un ll^2 = llu1ll^2 + llu2ll^2 + ...... + llunll^2 "

Jag vet att

ll u +v ll^2 = llull^2 + llvll^2 (pythagoras)

men sen då?

Jag tror att det var jag som faktiskt missade en viktig grej, det skulle så klart stått med i uppgiften att det skulle gälla in R^n.

Jag presenterade ett nytt problem här ovan och där har jag varit lite noggrannare med detta.