Citat:
Ursprungligen postat av
preben12
Komplex analys
Funktionen u(x,y)=x+y+x^2+xy−y^2 är realdel till en funktion f,som är analytisk i hela det komplexa talplanet och uppfyller f(0)=2i.
a) Bestäm den reellvärda funktionen v(x,y) så att f(z)=u(z)+iv(z)
b). Uttryck f som funktion av z. z=x+iy.
Inga problem med a). Beräkningar ger att v(x,y)=y−x+2xy+y^2/2−x^2/2+2.
Har dock ingen aning hur jag ska göra när jag ska uttrycka f som en funktion av z och hittar inget om det i kurslitteraturen.
Finns en trevlig sats om entydighet som säger att:
Om f, g är analytiska i hela det komplexa talplanet och f = g på realaxeln så gäller att f = g i hela det komplexa taplanet.
I ditt fall har du att:
f(x + iy) = u(x, y) + i·v(x, y)
På realaxeln: f(x + 0i) = u(x, 0) + iv(x, 0) = (x + x²) + i·(-x - x²/2 + 2)
På realaxeln gäller att g(z) = z + z² + i·(-z - z²/2 + 2) är lika med f(z), därmed är f = g i hela det komplexa talplanet vilket innebär att:
f(z) = z + z² + i·(-z - z²/2 + 2)
