Tau vs Pi

Vi gick lite offtopic angående tau och pi i en annan tråd, så jag sökte i forumet efter en tau/pi-tråd att fortsätta i. Någon sådan hittade jag aldrig, så jag antar att det är hög tid att skapa en.



Vilka? I samtliga fall jag kan komma på på rak arm där π förekommer ensamt och det hade blivit τ/2 istället, t.ex. i formeln för en cirkels area (A = πr² eller A = ½τr²), så är det frågan om resultatet av en integrering (jämför med ½gt², ½mv² eller ½kx²).

Även Eulers identitet, e^(iπ) + 1 = 0, står sig: e^(iτ) = 1, eller om man prompt vill få med nollan någonstans; e^(iτ) - 1 = 0. Precis som i fallet radianer så blir rotationerna i det komplexa planet tydligare om man använder τ istället för π:

Att rotera en fjärdedels varv motsvarar att multiplicera med i: e^(iτ/4) = i
Att rotera ett halvt varv motsvarar att multiplicera med -1: e^(iτ/2) = -1
Att rotera tre fjärdedelars varv motsvarar att multiplicera med -i: e^(3iτ/4) = -i
Att rotera ett helt varv motsvarar att multiplicera med 1: e^(iτ) = 1

Det blir inte alls lika tydligt med π:
e^(iπ/2) = i
e^(iπ) = -1
e^(3iπ/2) = -i
e^(2iπ) = 1

Det där var ett lite förebyggande svar, men du kanske syftar på något annat?
Vilka egenskaper hos π var det som du syftade på?

Jag undrar också om pi verkligen är bättre än tau någon gång?
Kom gärna med exempel, alla som kommer på något!

Man kan ju lika gärna välja att definiera π efter cirkelns area, vilken man för övrigt enkelt härleder även utan att integrera. Se till exempel Arkimedes bevis. Samma areaformel är inte lika "vacker" i termer av τ.

Jag har sett argumentet med Eulers identitet förut, men jag tycker att man tappar mycket med τ. Själva grejen är att man får med e, π, +1 och 0. Att byta ut +1 mot -1 ger inte samma "kick" i min bok; jag är av uppfattningen att subtraktion är en "onödig" operation eftersom den bara säger att man ska addera den additiva inversen, vilken betecknas genom att lägga till ett minustecken framför. Vidare fungerar motsvarigheten just därför att τ är en multipel av π, det innebär att man kan härleda τ-identiteten utifrån π-identiteten.

[;\int_\infty^\infty e^{-x^2} dx=\sqrt{\pi};] dyker upp lite här och där, och den har ju inte mycket att komma med i termer av τ.

De vanliga trigonometriska funktionernas perioder kan snyggt skrivas som multiplar av π, vilket inte går med τ där man måste dela med två med jämna mellanrum. Även flertalet trigonometriska integraler är snyggare i termer av π.


Jag tycker helt enkelt att π har för många fördelar för att jag ska vilja byta. De tillfällen det är snyggare med τ är det nästintill lika snyggt med π, men det omvända gäller inte.

Jag håller inte med om att det är några fördelar, snarare tvärtom. När man räknar i radianer skulle det förenkla att använda tau.

Angående radianer måste jag nog hålla med om att tau är vettigare; enheten i en rotation bör ju vara ett helt varv. Eulers identitet känns verkligen skit samma, märkligt att folk går igång så hårt på det.

Vad gäller definitioner så känns pi lite mer praktiskt användbar, diameter är ofta enklare att hantera än radien men rent teoretiskt är väl förhållandet mellan radie och omkrets lite vettigare.

Egentligen förstår jag inte varför man ska argumentera för det ena eller det andra, när båda är vettiga på sitt sätt... Använd den som passar bäst för tillfället?

Först vill jag bara påpeka att jag inte argumenterar utifrån ståndpunkten att användandet av τ istället för π gör någonting vackrare, eller enklare. Till syvendes og sist så går min ståndpunkt ut på att när man har ett begrepp som cirkel, som i grund och botten definieras utifrån dess radie så hade det rationella varit att man sedan även använder radien, och inte dubbla radien, när man definierar cirkelkonstanten som ger sambandet mellan radien och omkretsen. Det faktum att man gjort ett, i min mening, irrationellt val har sen lett till en massa artefakter, faktorer av 2 eller utelämnandet av faktorer av ½, som i sig kan både kan förfula och försköna, förenkla eller försvåra enskilda uttryck.


Syftar du på beviset att arean av en cirkel med omkretsen O och radien r inte kan vara större eller mindre än arean hos en triangel med basen O och höjden r? Där man sen använder sig av att arean för en triangel motsvarar ½bh, det vill att arean för en cirkel är ½Or, där O kan skrivas om till τr för att erhålla ½τr²? Faktorn ½ är ju faktiskt relevant även i detta sammanhanget, och att "trolla bort den" gör i min mening inte uttrycket "vackrare" utan leder helt enkelt till att man tappar information. ½ finns där av en anledning, använder man π så döljer man medvetet eller omedvetet det.


Jag förstår mig inte på den här typen av argument. Vad är det som är så heligt med Eulers identitet? Eulers Formel är ju helt klart mycket intressantare, och där är ju sambandet mellan θ och τ helt klart tydligare än sambandet mellan θ och π.


Jag förstår inte exakt vad du syftar på, har du lust att omformulera och förtydliga?


Kul att du tog upp gaussintegralen, τ eller π i detta sammanhang är ett resultat av en integral från 0 till τ eller 2π i polära koordinater, så det faktum att det hade blivit [; \sqrt{\frac{\tau}{2}} ;] säger ju någonting om uttrycket.


Varför är det ett egenvärde?


Lust att förtydliga vad du syftar på?

En ganska obetydande grej egentligen; det är enklare att skatta omkretsen för något genom att skatta diametern och sen multiplicera med 3. Det här förändras förstås inte för att man väljer en annan teoretisk definition... fast å andra sidan så ändras ju inte definitionen av tau heller bara för att pi finns. Så jag är lite nyfiken på vad som är tanken med diskussionen? Är det bara för att upplysa folk om att tau finns och ofta är ett vettigare alternativ än pi?

För att förtydliga så blir det alltså en dubbelintegral från 0 till τ dθ samt från 0 till ∞ dr, τ kommer alltså från vinkelintegralen och ½ från den radiella integralen.

Jag vet inte, jag hade nog inte något uttalat syfte när jag startade tråden. Jag använde mig av de didaktiska fördelarna med tau i en annan tråd som handlade om trigonometri, och fick lite mothugg. Eftersom det var offtopic och jag inte hittade någon annan tråd dedikerad till ämnet så skapade jag en.

Det var ett par år sedan jag först hörde talas om tau (genom en ViHart-video, tror jag det var), och initialt tänkte jag väl "det var väl ett nifty trick för att göra trigonometri lite lättare för kidsen", men efter hand som jag tänkt på det så känns det djupare än så.

Jag skulle vilja göra en analogi till klassisk mekanik; Newtonsk mekanik och hamiltonsk mekanik. Båda två är fullständigt ekvivalenta och ger samma resultat, men fungerar på två olika sätt. Newtonsk mekanik bygger på att rada upp differentialekvationer för hur alla partiklar inblandade skall bete sig när systemet utvecklas, medan hamiltonsk mekanik utgår från hamiltonianen H(q,p,t) = T + U, där T är systemets kinetiska energi och U är systemets lägesenergi. Det hamiltonska systemets tidsutveckling styr sedan av de två ekvationerna dp/dt = -∂H/∂q samt dq/dt = +∂H/∂p.

Båda formalismerna ger samma resultat, men den hamiltonska formalismen är mer fundamental och användandet av den gör att man enklare kan se saker som inte är uppenbara utifrån newtonsk formalism, t.ex. sambandet mellan symmetrier och bevarandelagar.

På samma sätt vill jag mena att det förhåller sig med tau och pi. Radien är mer fundemental för cirkeln än diametern är, just därför att en cirkel definieras utifrån dess radie. Att använda en cirkelkonstant som är baserad på radien istället för diametern gör att det blir enklare att upptäcka vissa samband som annars kan ha blivit dolda av den extra faktorn på 2 som introduceras om man använder en cirkelkonstant baserad på diametern.

För alla som inte har sett videon.

Jag tycker inte att det är att "trolla bort": väljer man att definiera π efter arean så följer ju värdet av pi som en följdsats. Bara för att man har en faktor ½ med när man utnyttjar att man känner till arean hos en triangel med givna sidlängder betyder det inte att man förlorar någon viktig insikt.

Anledningen till att jag tog upp Eulers identitet var just för att du själv använde den som argument för att τ åtminstone inte var sämre än π.
Självklart är Eulers formel intressantare, eftersom Eulers identitet är en följdsats. Hur menar du att det skulle finnas något tydligt samband mellan θ (som jag antar är parametern) och π?

Motsvarigheten till Eulers- för τ är en följdsats till Eulers- för π, eftersom:
[;
e^{i\pi}+1=0 \iff e^{i\pi}=-1 \overset{\not\Leftarrow}{\Rightarrow} e^{i\tau}=(e^{i\pi})^2=(-1)^2=1 \iff e^{i\tau}-1=0
;]
Din poäng, om jag inte misstar mig, är att man behöver ha med tvåan i "2π" om man vill integrera gaussintegralen i polära koordinater. Detta är i min mening inga som helst problem, man får ju ett mycket "snyggare" svar. Varför välja bort bekvämlighet under beräkningarna mot svarets estetik!? Rent allmänt jobbar jag hellre med en produkt än en kvot. Ponera att vi måste välja en gång för alla mellan π och τ; man får aldrig ändra sig. Då skulle jag hellre multiplicera med 2 här och där än dividera med 2.

Vad menar du att en faktor [;\frac{1}{\sqrt{2}};] säger om uttrycket?

Hur menar du nu?

[;\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2} dx=\sqrt\tau;]

Tycker det är lika bra så.