*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Tack så mycket!
Efter ett par vandringar fram och tillbaka i rummet fick jag en eureka-upplevelse på hur du kom fram till det här!

och V_f^(-1) = [0, ∞[
För visst byter värdemängd och definitionsmängd 'plats' när man går över till den inversa funktionen eller vice versa?

Ja, precis! Givet en (inverterbar) funktion f och dess invers f^-1 gäller:

D_f = V_f^-1
V_f = D_f^-1

Precis som du säger.

Neeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeej vänta! jag tappade det Varför är arctan(x^2+1) vara strängt växande? för alla x>=0.

Enklast är att titta på derivatan för f(x) = arctan(x² + 1) ger f'(x) = 2x/((x² + 1)² + 1) > 0 då x > 0 (f'(x) = 0 då x = 0, men det spelar ingen roll eftersom det bara är ändpunkten) och då har vi att f'(x) > 0 för x > 0 och därmed är f(x) strängt växande när x ≥ 0.

x² + 1 är strängt växande funktion för x ≥ 0, sedan är arctan strängt växande för alla x. Sammansättningen av två strängt växande funktioner är strängt växande.

Okej, tack! Förlåt för att jag är så träskallig men jag har en sista fråga.

Hur kom ni fram till att V_F för f(x) är = [π/4, π/2[
Jag bara accepterade det..

Hur löser man ut "t" ur den här knepiga situationen?
t^2=sin(t^2)

Använder man arcsin så försvinner sinus från högerled men då får man ju arcsin på vänsterled och det blir bara en ond cirkel av det hela. Förslag?

ingen?

Låt x=t^2 och försök hitta lösningar för x som är större än eller lika med 0. Problemet kan bli enklare om du ritar en graf.

Låt g(t) = t² - sin(t²)

Funktionen är jämn, det vill säga, g(-t) = g(t) så det räcker om vi undersöker för t ≥ 0.

För t > 1 gäller trivialt att g(t) = t² - sin(t²) > 0 så för t > 1 har vi inga lösningar.

För 0 ≤ t ≤ 1 har vi att g'(t) = 2t - 2t·cos(t²) = 2t(1 - cos(t²)). För t = 0 har vi att g'(0) = 0. Därefter gäller det att om 0 < t ≤ 1 att 2t > 0 och 1 - cos(t²) > 0 (visa gärna detta). Sammanfattar vi detta gäller g'(t) = 0 endast i t = 0 och för 0 < t ≤ 1 är g'(t) > 0 och g(t) är strängt växande över aktuellt intervall.

Vi har att g(0) = 0 och av funktionsundersökningen ovan inser vi att t = 0 är den enda lösningen till ekvationen g(t) = 0, alltså t² = sin(t²).

Jag tror att rätt svar är 1/sqrt(2)<=x<=1

Att likhet gäller för x över ett helt intervall kan man förstå genom vissa omskrivningar. Men det verkar behövas en utredning om när omskrivningarna är ekvivalenta med det man började med.

2arcsin x = pi -arcsin(2xsqrt(1-x^2))

sin på båda leden ger

sin(2arcsin x) = sin(arcsin(2xsqrt(1-x^2)))

2(sin arcsin x)*cos(arcsin x)=2xsqrt(1-x^2)

2x*cos(arcsin x)=2xsqrt(1-x^2)

x måste vara skild från noll, för annars stämmer inte ursprungsekvationen. Alltså går det att dela med 2x.

cos(arcsin x)=sqrt(1-x^2)

cos^2(arcsin x)=1-x^2

Trigonometriska ettan ger

1-sin^2(arcsin x)=1-x^2

1-x^2=1-x^2

Jag efterfrågade inte lösningen men jag misstänkte att jag skulle få en lösning och därför skrev jag inte ner min uppgift. Jag vill bara förstå principen så jag kan lösa min egen uppgift själv. Min ekvation ser betydligt krångligare ut. Min fråga är hur man löser ut "t" och inte vad ekvationen har för lösning. Är det ens möjligt att lösa ut "t"?