*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Nej du, jag kan visserligen bara tala för mig själv men jag tänker då inte ladda ned två bilder för att hjälpa till. Lägg upp dem på exempelvis imgur istället, eller skriv av dem i tråden.

Du vet volymen på badkaret, du vet volymen som rinner ut. Det du behöver är att sätta upp ett uttryck för vattenivån i cm(antar jag) som en funktion av volymen.

Jag har så svårt att följa det här. Kan någon förklara lite mera?

Här är min lösning. Jag börjar med konstatera att uttrycket är en produkt av de två funktionerna

(sin x)/x

och

(e^-x^2 -1)/ln(1+x^2)

Det första uttrycket går mot 1 då x->0. Det är ett standardgränsvärde.

Det andra kan beräknas med l'Hopitals regel.

(-2x*e^-x^2)/(2x/(1+x^2))=-(1+x^2)e^-x^2 -> -1 då x->0

Alltså går produkten av uttrycken mot -1.

När fiskar simmar uppströms i ett vattendrag anpassar de sin hastighet x m/s så att energiåtgången J/m blir så liten som möjligt. Om vattnet rinner med hastigheten 4m/s beskrivs energiåtgången av funktionen
f(x) = kx^3/(x-4) , x > 4

k är en positiv konstant.

a) Hur ändras energiåtgången om en fisk ökar hastigheten från 4,5 m/s till 5 m/s ?

b) Vilken hastighet minimerar energiåtgången?

Ingen aning vad jag ska göra men försökte derivera funktionen och då fick jag
f´(x)=((x-4)3kx^2-kx^3) / (x-4)^2 (kan jag förkorta det ytterligare?)

Tacksam gör ett tydligt svar.

Aa vet, men vet inte riktigt hur man ska göra. Har problem med dessa uppgifter där man ska använda dV/dt, dA/dt osv. Förstår inte riktigt hur man vet hur uttrycket ska ställas upp på varje fråga.

Vi har alltså: ((e^(-x²) - 1)·sin(x))/(x·ln(1 + x²))

e^(-x²) - 1 = e^(-x²)(1 - e^(x²)) = -e^(x²)·(e^(x²) - 1)

Vi får med detta: ((e^(-x²) - 1)·sin(x))/(x·ln(1 + x²)) = -e^(x²) · (e^(x²) - 1) · sin(x)/x · 1/ln(1 + x²)

Vi ser här att vi har sin(x)/x → 1 då x → 0 vilket är ett standardgränsvärde. Dessutom ser vi något som liknar standardgränsvärdena (e^t - 1)/t → 1 då t → 0 och ln(1 + t)/t → 1 då t → 0 (eller, vilket som är samma sak naturligtvis, t/ln(1 + t) → 1 då t → 0). Vi saknar dock x²-termer, en i täljaren och en i nämnaren. Men förläng med det då helt enkelt!

-e^(x²) · (e^(x²) - 1)/x² · sin(x)/x · x²/ln(1 + x²) → -e^(-0²) · 1 · 1 · 1 = -1 · 1 = -1 då x → 0 enligt 3 olika standardgränsvärden samt att -e^(-x²) → -1 då x → 0 trivialt.

I vilken kvadrant ligger punkten som har koordinaterna (cos 1001, sin 1001)?
Jag fick det till P=(0,19;-0,98) så den borde ju ligga i 4:e kvadranten.
Men i facit står det i 1:a kvadranten någon som kan förklarar eller kan det vara fel i facit?

Handlar det om grader eller radianer? Alltså menar de cos(1001) och sin(1001) eller cos(1001°) och sin(1001°)? Där kanske du har gjort fel isåfall beroende på inställningarna på din miniräknare.

Handlar om grader alltså cos(1001°) och sin(1001°)

Vi tittar på energiåtgången på dessa nivåer:

f(4.5) = 182.25k [J/m]
f(5) = 125k [J/m]

Så givet att k > 0 (positiv konstant) verkar det som att energiåtgången minskar.

För att undersöka vilken hastighet som minimerar energiåtgången deriverar vi funktionen och söker punkter där f'(x) = 0. Notera att då x → 4+ gäller att f(x) → ∞ och då x → ∞ att f(x) → ∞. Kvotregeln ger oss att:

f'(x) = (3kx²·(x - 4) - kx³·1)/(x - 4)² = (2kx³ - 12kx²)/(x - 4)² = 2kx²(x - 6)/(x - 4)²

Eftersom x > 4 är det inte intressant för oss att f'(0) = 0. Däremot gäller att f'(6) = 0 så x = 6 är en intressant punkt och vi inser på grund av funktionens utseende att detta är ett minimum. Går även att se genom att undersöka andraderivatan och bekräfta att f''(6) > 0.

Således minimeras energiåtgången vid 6 [m/s].

Du behöver inte räkna ut funktionsvärden alls! Kolla bara en enhetscirkel. Argumentet 1001 grader kommer att ge samma punkt som 1001-2*360=281 grader, alltså 4e kvadranten.