*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Här ska det stå ab ≡ cd (mod x)

Citat:

Ursprungligen postat av 2ganger2

Vi antar att det gäller att 9^n-4^n är delbart med 5 ska gälla ska det gälla att för n≥1

Basfallet n=1
Ger 9^1-4^n = 9-4=5≡0(mod5)

Induktionsantagande
Om jag ser det som första ”dominobrickan” ska nästa steg också vara kongruent med 5

Nästa steg är att jag antar att
9^(n+1) – 4^(n+1) ska vara kongruent med 5

Induktionsantagandet bör vara att 9^n-4^n≡0(mod5)

Att 9^(n+1) – 4^(n+1)≡0(mod5) är det som ska visas.

Citat:

Ursprungligen postat av 2ganger2

Jag utnyttjar att a^(n+1)-b^(n+1)=a^n(a-b)+b(a^n-b^n)

Alltså 9^(n+1)-4^(n+1)=9^n(9-4)+4(9^n-4^n)
9-4 ≡ 0 (mod 5) som tidigare konstaterat
9^n*0 + 5*0 ≡ 4*0+0(mod5)

Allra sist bör du skriva ut slutsatsen att 9^(n+1)-4^(n+1)≡ 0 (mod 5)

Hela beviset skulle bli enklare om du tolkar uppgiften som att du ska visa att 9^n≡4^n (mod5) för alla positiva heltal n. Det är ekvivalent med att 9^n-4^n är delbart med 5.

Kvadratkomplettering:

(z - (4 + 6i)/2)² - (4 + 6i)²/4 - 5 - 12i = 0 ⇔ (z - 2 - 3i)² = (4 + 6i)²/4 + 5 + 12i = 24i

Alltså (z - 2 - 3i)² = 24i, kan du lösa detta?

y=3+bx-2x^2 går genom punkten (2,5)

Bestäm värdet på b.

Hur gör jag? Och hur påverkar faktumet att andragradaren 2x^2 istället för bara x^2?

#2: Kan jag väldigt förenklat se bx som förskjutningen av parabeln i x-led och konstanten som förskjutningen i y-led ("uppåt och nedåt")?

Tänk om världen hade gått runt med bara räta linjer..............

Du vet att om du stoppar in x=2 får du y=5, så vi gör detta:
5=3+b*2-2*2^2 <=> 5=3+2b-8 <=> 2b=10 <=> b=5

Ja, tack!
Det klarar jag av. Är bara så jävla kass på kvadratkomplettera/faktorisera så att det är helt sanslöst!

lim x->inf. ( ln (1+ (2/sqrt n) ) / sqrt n

Finns det något tips hur jag bör börja?

Tack, jag ändrade lite

9^(k+1) – 4^(k+1) ska vara kongruent med 5 under antagandet att
p(0)+p(1)+...+p(k) är sann

Nu ska jag nedan visa att det faktiskt är så
Jag utnyttjar att a^(k+1)-b^(k+1)=a^k(a-b)+b(a^k-b^k)

Alltså 9^(k+1)-4^(k+1)=9^k(9-4)+4(9^k-4^k)
9-4 ≡ 0 (mod 5) som tidigare konstaterat
9^k*0 + 5*0 ≡ 5*0+0(mod5)

edit : Hela beviset skulle bli enklare om du tolkar uppgiften som att du ska visa att 9^n≡4^n (mod5) för alla positiva heltal n. Det är ekvivalent med att 9^n-4^n är delbart med 5.

Hur skulle du bevisa det med induktion?

arccos(3/5)+arccot(1/7) (får ej innehålla trignometriska uttryck)

α=arccos(3/5)

cos α = cos (arccos(3/5))=3/5

β=arccot(1/7)

cot β=cot(arccot 1/7)=1/4

tan β = 4

Hur sjutton ska jag lösa det utan trigguttryck?

Genom hjälptriangel fås:

arccos(3/5) = arctan(4/3)
arccot(1/7) = arctan(7/1) = arctan(7)

Låt v = arctan(4/3) + arctan(7) och vi kan notera att eftersom 0 < arctan(4/3) < π/2 och 0 < arctan(7) < π/2 så gäller att 0 < v < π.

Identitet: tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanα·tanβ)

tanv = tan(arctan(4/3) + arctan(7)) = ... = (4/3 + 7)/(1 - 4/3·7) = -1

tanv = -1 ⇔ v = arctan(-1) + π·k = -π/4 + π·k

Men då 0 < v < π måste k = 1 vilket ger oss likheten v = -π/4 + π = 3π/4 vilket alltså ger oss att arccos(3/5) + arccot(1/7) = 3π/4.


Sätt k = 1/√n vilket ger att k → 0+ då n → ∞ vilket ger:

ln(1 + 2k)·k → ln(1 + 2·0)·0 = 0·0 = 0 då k → 0+

Skriv uttrycket 3sin(x)+8cos(x)=på formen C(sin(x+φ))

Avståndet C är ifrån origo är enkelt sqrt(9+64)

Hur hittar jag vinkeln?


Edit : Hittade formlen i boken, φ=arcsin (8/sqrt(73))

3sin(x) + 8cos(x) = √(73)·(3/√(73)·sin(x) + 8/√(73)·cos(x)) = C·sin(x + φ) = C(sin(x)cos(φ) + cos(x)sin(φ))

Identifiering ger att C = √(73) samt att cos(φ) = 3/√(73) och sin(φ) = 8/√(73). Vi ser att φ är en vinkel i första kvadranten så genom tan(φ) = sin(φ)/cos(φ) = 8/3 kan vi helt enkelt plocka lösningen φ = arctan(8/3) (det räcker ju med en lösning, vi behöver inte alla).

3sin(x) + 8cos(x) = √(73)·sin(x + arctan(8/3))

Tack, varför är det viktigt att k går mot 0 ifrån den positiva x-axeln?
k går mot 0 eftersom 1/sqrt(n) går mot 0 då n går mot ∞

Tack så mycket för hjälpen.