*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hej,

Jag ska lösa ekvationen sqrt(x + 5) - x - 3 = sqrt(x) för reella x.

Båda led kvadreras så att sqrt(x + 5) - x - 3 = sqrt(x) => 14 + 7x + x^2 - 6sqrt(5+x) - 2xsqrt(5+x) = x <=> x^2 +6x + 14 = 6sqrt(5+x) + 2xsqrt(5+x). Både led kvadreras igen så att x^2 + 6x + 14 = 6sqrt(5+x) + 2xsqrt(5+x) <=> x^4 + 12x^3 + 64x^2 + 168x + 196 = 180 + 156x + 44x^2 + 4x^3 <=> x^4 + 8x^3 + 20x^2 + 12x + 16 = 0

Detta kan jag inte lösa. Jag har gjort alla kvadreringar mha wolframalpha, så det bör inte ha blivit fel i de stegen. Någon som vet var det går snett?

Hej,

Jag ska lösa ekvationen sqrt(x + 5) - x - 3 = sqrt(x) för reella x.

Båda led kvadreras så att sqrt(x + 5) - x - 3 = sqrt(x) => 14 + 7x + x^2 - 6sqrt(5+x) - 2xsqrt(5+x) = x <=> x^2 +6x + 14 = 6sqrt(5+x) + 2xsqrt(5+x). Både led kvadreras igen så att x^2 + 6x + 14 = 6sqrt(5+x) + 2xsqrt(5+x) <=> x^4 + 12x^3 + 64x^2 + 168x + 196 = 180 + 156x + 44x^2 + 4x^3 <=> x^4 + 8x^3 + 20x^2 + 12x + 16 = 0

Detta kan jag inte lösa. Jag har gjort alla kvadreringar mha wolframalpha, så det bör inte ha blivit fel i de stegen. Någon som vet var det går snett?

Jag ska visa att (1/(1+cos2x)) = (tan^2(x)/2) + (1/2). Jag började med att skriva om tan^2(x) i högerled och får då ((sin^2(x)/cos^2(x)) / 2) + (1/2). Sedan inverterade jag vilket ger mig (sin^2(x)/2cos^2(x)) + (1/2). Men sedan kommer jag inte vidare, vad kan jag göra sen?

Har fått uppgiften:

Bestäm samtliga lösningar z∈ℂ för ekvationen z^8=−1.

Finns det mer lösningar än att z=-i?

Skriver om till 2/(1+cos(2x)) - 1 = tan^2(x)
Använder att cos(2x) = 2cos^2(x)-1 så får vi:
2/(1+2cos^2(x)-1)-1 = 1/cos^2(x) - 1
Förlänger vi med cos^2(x) får vi:
(1-cos^2(x))/cos^2(x)
Eftersom 1-cos^2(x) = sin^2(x) enligt trig. ettan får vi:
sin^2(x)/cos^2(x) = tan^2(x)
VSV

Aha visste inte att man kunde multiplicera upp 2:an på båda sidor. Trodde att man alltid skulle välja ett led på dessa "Visa" uppgifter och sen förenkla det och försöka tills man får att det är samma som högerled.

Men hur fick du 1/cos^2(x) - 1 från 2/(1+2cos^2(x)-1)-1?

Vid situationer då du får uttryck av den där typen - alltså, gränsvärdesberäkningar som till synes inte kan förkortas längre och du ändå har oändligheter (eller nollor) i båda täljare och nämnare - så kan du använda dig av L'Hôpitals regel; L'Hôpital's rule - Wikipedia

Under de universitetskurser där gränsvärdesberäkningar var aktuella så var det dock en regel vi inte hade tillåtelse att åberopa så fort man fick det svettigt, men det var väldigt användbart för att exempelvis först finna gränsvärdet och sen härleda det "på riktigt". För att ta ett exempel, se det typiska gränsvärdet

lim x→0+ sin(x)/x.

Här går både täljare och nämnare mot noll, så man kan använda L'Hôpitals regel, vilket utmynnar i: sin'(x)/x' = (d(sin(x))/dx)/(dx/dx) = cos(x)/1 = cos(x) → 1 då x→0. Där har du svaret. Att skriva det som svar på en tentamensfråga är dock knappast tillåtet (Om det inte specifikt är tänkt att lösas på det sättet)

Egentligen blev det väl inte löst åt dig men det är ett tips om ett väldigt användbart verktyg.


Jag vill även bumpa min egna fråga från ett tidigare inlägg som dock gick utan svar;

lim{x→0+} (2^x + lnx)/(3·2^x - lnx) = lim{x→0+} (2^x/ln(x) + 1)/(3·2^x/ln(x) - 1)

Nu gäller det att 2^x/ln(x) → 0 då x → 0+ vilket ger att (notera att 2^x → 1 och ln(x) → -∞).

lim{x→0+} (2^x/ln(x) + 1)/(3·2^x/ln(x) - 1) = (0 + 1)/(0 - 1) = -1

Har fått uppgiften:

Bestäm samtliga lösningar z∈ℂ för ekvationen z^8=−1.

Finns det mer lösningar än att z=-i?