*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Skulle du kunna bidra med en bild?

Vad är de, om det finns några, matematiska misstagen jag gör om jag löser en diff.ekv med följande resonemang:

(t^3-6t^2+9t)u=9

Om jag fortsätter på det förra resonemanget att tδ(t)=0 är relaterat till homogenlösningen och bryter ut termer för att se var det blir uttrycket blir 0.

Homogenlösningen
(t^3-6t^2+9t)u=0

1. t(t^2-6t+9)u=0 => (t^2-6t+9)u=Cδ - första delen av homogenlösningen.

2. (t-3)(t^2-3t)u=0 => (t^2-3t)u=Dδ_3 - andra delen av homogenlösningen.

3.(t-3)(t^2-3t)u=0 => (t^2-3t)u=Eδ'_3 - tredje delen av homogenlösningen.

Partikulärlösningen

(t^3-6t^2+9t)u=9 <=> u = 9/(t^3-6t^2+9t) = 9/t(t-3)^2

Partialbråksuppdelning ger

u=1/t - 1/(t-3) + 3/(t-3)^2 = t^-1 - (t-3)^-1 - 3(t-3)^-2

Sammanslaget får vi då:

u = t^-1 - (t-3)^-1 - 3(t-3)^-2 + Cδ + Dδ_3 + Eδ'_3

Jag försökte, hoppas det blev rätt.
www.luontonetti.com/jorma/JJJ/geo2.png
Man ska visa, att F,G och H är i linje.

En matteuppgift från verkligheten:

Jag har ett kylsystem. Vi kan säga att det är på 10 liter för att hålla det enkelt.
Detta innehåller 30% glykol och 70% vatten. Om jag vill fylla upp så att det blir 50% glykol, hur räknar jag ut hur mycket av 30/70-blandningen som ska tappas ut, för att det i slutändan ska bli rätt när jag ersätter urtappad blandning med 100% glykol?

Gärna svar med formel så jag kan anpassa efter verkliga förhållanden med siffrorna.

Problemet med denna uppgift är att 1 liter glykol + 1 liter vatten inte ger 2 liter lösning, utan lite mindre (om jag inte har min kemi helt om bakfoten).

Jag kommer att bortse från detta. När du blivit klar vill du att systemet ska innehålla 5 liter glykol och 5 liter vatten. Nu innehåller systemet 7 liter vatten, så vi måste tappa ur 2 liter vatten. Eftersom 70 är vatten i nuläget vill vi tappa ur 2/0,7 liter, vilket är cirka 2,86 liter. Nu innehåller systemet rätt mängd vatten, och du kan fylla på med glykol tills det är fullt.

Antag istället att systemet rymmer x liter, då tappar du ut x/0,7 liter vatten

Behöver akut hjälp med en matteuppgift!

Ange alla tal X som uppfyller

(2x)/(x+4) ≥ x

fattar inte hur jag skall gå tillväga, hjälp uppskattas!

Varför kör du med δ' i fall 3 men inte i fall 2? Ekvationerna har ju samma form.



Min lösning

Ekvationen:
(t^3-6t^2+9t) u = 9

Faktorisera:
t (t-3)^2 u = 9

Lös m.a.p. faktorn t:
(t-3)^2 u = 9/t + C1 δ

Lös m.a.p. faktorn (t-3)^2 (*):
u = 9/(t(t-3)^2) + C1 δ/(t-3)^2 + C2 δ_3 + C3 δ'_3
= 9/(t(t-3)^2) + (C1/9) δ + C2 δ_3 + C3 δ'_3


(*) Ekvationen t^2 u = 0 har lösningarna u = C1 δ + C2 δ':
Vi vet att t δ = 0, varför t δ' = (t δ)' - δ = 0' - δ = -δ, dvs δ/t = -δ'.
Därmed kan vi lösa t^2 u = 0 stegvis. Vi får t u = C2 δ och u = -C2 δ' + C1 δ.


Notera även att t δ = 0 är duala ekvationen till 1' = 0 genom Fouriertransformen.
Därmed är lösningen u = C δ till ekvationen t u = 0 duala lösningen till u = C till ekvationen u' = 0.

Underbart! Tack! Lustigt att 1 l glykol + 1 l vatten inte blir 2 liter då (kanske därför glykol ofta säljs angivet i kg på förpackningarna ). Men jag måste ändå inte ha exakt 50/50 så det blir säkert bra så här.

Börja med att dela upp i två fall: x+4 ≥ 0 och x+4 ≤ 0.

Fallet x+4 ≥ 0:
Multiplicera ekvationen med x+4. Detta ger 2x ≥ x(x+4) = x²+4x, dvs 0 ≥ x²+2x = x(x+2).
För att denna olikhet ska gälla måste den ena faktorn vara positiv, den andra negativ (eller att någon av faktorerna är 0).
Om x är positiv, är även x+2 positiv, så vi måste ha x negativ och x+2 positiv.
Alltså ska gälla x ≤ 0 ≤ x+2 (< x+4), vilket gäller då -2 ≤ x ≤ 0.
När detta gäller, gäller även x+4 ≥ 0 så vi håller oss helt inom fallet.

Fallet x+4 ≤ 0:
Multiplicera ekvationen med x+4. Detta ger 2x ≤ x(x+4) = x²+4x, dvs 0 ≤ x²+2x = x(x+2).
Notera att vi här bytte riktning på olikheten.
Nu måste båda faktorerna ha samma tecken (eller att någon av dem är 0).
En möjlighet är 0 ≤ x < x+2 (< x+4). Denna motsäger dock x+4 ≤ 0 och är därför inte aktuell.
Den andra möjligheten är x < x+2 (< x+4) ≤ 0, vilket löses av x ≤ -4 och ligger inom fallet.

Svar: x ≤ -4 eller -2 ≤ x ≤ 0.

Den är klassisk, googla 'Simson line' när du tröttnat.

Det står så i facit. Jag vet inte om han vill skilja dem åt på något sätt.




Tackar!

Vi har bara haft två föreläsningar så det är mycket jag inte riktigt hänger med i. T.ex. hur C1 δ/(t-3)^2 blir (C1/9) δ.
Antar att t=0 sätts in men att sätta in t=0 i bara den termen känns lite konstigt.
Vi har förövrigt inte kommit in på Fouriertransformer.

Är tδ = 0 eftersom δ=0 överallt där t≠0 och där t=0 blir det samma princip fast δ≠0 och t=0?

x kan inte vara -4 då det (2*4)/((-4)+4) ≥ x resulterar i division med 0. Svaret är alltså x < -4 eller -2 ≤ x ≤ 0