hur är det nu, kan 2^(1/3) även skrivas 3sqrt(2) fast med trean lite upphöjd liksom? om man skriver förhand menar jag och använder en vanlig roten ur-symbol istället för sqrt.
hur är det nu, kan 2^(1/3) även skrivas 3sqrt(2) fast med trean lite upphöjd liksom? om man skriver förhand menar jag och använder en vanlig roten ur-symbol istället för sqrt.
hur är det nu, kan 2^(1/3) även skrivas 3sqrt(2) fast med trean lite upphöjd liksom? om man skriver förhand menar jag och använder en vanlig roten ur-symbol istället för sqrt.
Tredjeroten menar du? Isåfall ja. Tredjeroten skrivs för övrigt cbrt(...) som i cube root. 3sqrt(2) tolkas tre gånger kvadratroten ur 2, som absolut inte är detsamma som 2^(1/3).
"Bestäm en Möbiusavbilning w(z) som avbildar z_1=i, z_2=∞, z_3=0 på w_1=0, w_2=-1, w_3=1 och bestäm sedan bilderna i w-planet av enhetscirkeln |z|=1 och övre halvplanet Imz>0 i z-planet."
Den första delen ger w(z)=(i-z)/(i+z)
På den andra delen resonerar jag på följande sätt för |z|=1:
Eftersom vi har ifrån w(z) att punkten -i avbildas på ∞ så kollar jag om den ligger på |z|=1. Det gör den och det ger att avbildningen av |z|=1 är en C-linje.
Vi har också att z=i avbildas på w=0 och två punkter på C-linjen.
Eftersom ∞ inte är en fixpunkt så kan jag inte dra en linje mellan de punkter jag har, 0 och ∞, och få den C-linje jag söker. Jag tar därför en godtycklig punkt som ligger på |z|=1 och använder mig av uttrycket för w(z). Jag väljer z=1 och får w(1)=i.
Jag får då att avbildningen i w-planet blir linjen Rew=0.
Istället för att välja z=1 och få den tredje punkten, kan jag istället göra så här?:
Om man tittar på de i uppgiften givna punkterna så ser man att Imz avbildas på Rew.
Eftersom det är en Möbiusavbildning så kommer vinklar att bevaras. Den vinkel som är intressant är den där |z|=1 skär Imz.
Det inses att denna är 90grader. Detta ger att, eftersom Imz avbildas på Rew och vinklar bevaras, att skärningen mellan C-linjen i w-planet kommer att skära Rew med 90grader.
Detta tillsammans med att C-linjen ska passera genom w=0 ger att den eftersökta linjen är Rew=0.
För att få avbildningen av Imz>0:
Alla punkter z_1=i, z_2=∞, z_3=0 finns i imz>0 eller på randen. Eftersom punkten z=-i inte finns på eller i Imz>0 blir bilden av Imz>0 inte en C-linje i w-planet utan en C-cirkel.
Vi har att punkterna z_1=i, z_2=∞, z_3=0 avbildas på w_1=0, w_2=-1, w_3=1.
Eftersom z_2=∞ och z_3=0 är spegelpunkter och avbildas på w_2=-1 och w_3=1 så måste w_2=-1 och w_3=1 också vara spegelpunkter eftersom spegelpunkter bevaras.
Vi har då att:
Avbildningen är en C-cirkel.
Punkterna w_1=0, w_2=-1, w_3=1 finns i/på C-cirkeln.
w_2=-1 och w_3=1 är spegelpunkter.
=> Avbildningen blir |w|<1. Vi kan ju inte ha två spegelpunkter som båda ingår i avbildningen om dessa inte ligger på randen. Anledningen till att det är |w|<1 och inte |w|<1 är p.g.a. av att vi avbildade Imz>0 och inte Imz>0
Tre flickor, Lena, Linda och Lovisa, har olika hårfärg. En av dem är mörkhårig, en av dem är rödhårig och en av dem är blond.
Information 1: Den mörkhåriga flickan som är yngst av de tre saknar syskon.
Enligt facit räcker det för att lösa uppgiften. Är det rätt?
Jag läste i ett senare inlägg att uppgiften är att lista ut vem som är rödhårig. Det är omöjligt att göra med den information du fått i "information 1". Det blir uppenbart om du testar påståendena "Lena är rödhårig" och "Linda är rödhårig", båda två är möjliga (självklart inte på samma gång) med den information du fått.
"Bestäm en Möbiusavbilning w(z) som avbildar z_1=i, z_2=∞, z_3=0 på w_1=0, w_2=-1, w_3=1 och bestäm sedan bilderna i w-planet av enhetscirkeln |z|=1 och övre halvplanet Imz>0 i z-planet."
Den första delen ger w(z)=(i-z)/(i+z)
På den andra delen resonerar jag på följande sätt för |z|=1:
Eftersom vi har ifrån w(z) att punkten -i avbildas på ∞ så kollar jag om den ligger på |z|=1. Det gör den och det ger att avbildningen av |z|=1 är en C-linje.
Vi har också att z=i avbildas på w=0 och två punkter på C-linjen.
Eftersom ∞ inte är en fixpunkt så kan jag inte dra en linje mellan de punkter jag har, 0 och ∞, och få den C-linje jag söker. Jag tar därför en godtycklig punkt som ligger på |z|=1 och använder mig av uttrycket för w(z). Jag väljer z=1 och får w(1)=i.
Jag får då att avbildningen i w-planet blir linjen Rew=0.
Istället för att välja z=1 och få den tredje punkten, kan jag istället göra så här?:
Om man tittar på de i uppgiften givna punkterna så ser man att Imz avbildas på Rew.
Eftersom det är en Möbiusavbildning så kommer vinklar att bevaras. Den vinkel som är intressant är den där |z|=1 skär Imz.
Det inses att denna är 90grader. Detta ger att, eftersom Imz avbildas på Rew och vinklar bevaras, att skärningen mellan C-linjen i w-planet kommer att skära Rew med 90grader.
Detta tillsammans med att C-linjen ska passera genom w=0 ger att den eftersökta linjen är Rew=0.
För att få avbildningen av Imz>0:
Alla punkter z_1=i, z_2=∞, z_3=0 finns i imz>0 eller på randen. Eftersom punkten z=-i inte finns på eller i Imz>0 blir bilden av Imz>0 inte en C-linje i w-planet utan en C-cirkel.
Vi har att punkterna z_1=i, z_2=∞, z_3=0 avbildas på w_1=0, w_2=-1, w_3=1.
Eftersom z_2=∞ och z_3=0 är spegelpunkter och avbildas på w_2=-1 och w_3=1 så måste w_2=-1 och w_3=1 också vara spegelpunkter eftersom spegelpunkter bevaras.
Vi har då att:
Avbildningen är en C-cirkel.
Punkterna w_1=0, w_2=-1, w_3=1 finns i/på C-cirkeln.
w_2=-1 och w_3=1 är spegelpunkter.
=> Avbildningen blir |w|<1. Vi kan ju inte ha två spegelpunkter som båda ingår i avbildningen om dessa inte ligger på randen. Anledningen till att det är |w|<1 och inte |w|<1 är p.g.a. av att vi avbildade Imz>0 och inte Imz>0
Är det där rätt resonerat?
Använder du dubbelförhållande (eng. cross ratio) för att få fram avbildningen, eller hur gör du?
Allmänt tycker jag att det ser bra ut, du verkar veta vad du vill använda. Dock tycker jag att det ser lite slarvigt ut här och där. Du skriver "eftersom \infty inte är en fixpunkt..." detta är inte det du menar att säga, du menar att säga att \infty inte är en entydigt bestämd punkt. En annan grej jag tänkte på är hur du använder ordet "spegelpunkter". Jag vet inte exakt hur definitionen för spegelpunkt i en "generalized circle" (som tydligen något konstigt översätts till C-cirkel), men jag tycker att det ser ut som att du slarvar lite med användandet.
I övrigt, som sagt, tycker jag att du verkar ha förstått hur man använder de viktiga resultaten i området Möbiusavbildningar.
