Cantor och de reella talen.

Då får jag resta mitt case.

Hmmm... hittar du inget fel? Accepterar du att ingen mängd innehåller alla reella tal?

Jag accepterar att tallinjen innehåller alla reella tal. Och jag accepterar en potentiell mängd som innehåller alla reella tal, nämligen mängden av alla reella tal.

Jag förstår inte riktigt. Menar du att vi ska anta att det finns minst en plats mellan plats 1 och plats 2 på listan, t.ex.? Det är ju precis det som inte gäller för en lista: mellan två på varandra följande heltal finns det inte ett annat heltal.
Men vad i definitionen är felaktigt? Du pratar här om slutsatserna du drar från existensen av C, det jag undrade var om du ser något fel i själva konstruktionen av C.

Som du säger, C skiljer sig från alla tal i bijektionens målmängd på minst en decimal. Detta bevisar att antingen är konstruktionen av C ogiltig, eller så är antagandet att bijektionens målmängd innehåller alla reella talen falskt. Så frågan är vilket av dessa som är fallet, och det var det jag frågade dig om: kan du se något ogiltigt i själva konstruktionen av talet C?

Och igen kan jag jämföra med motsägelsebeviset för att sqrt(2) är irrationellt. Vi antar där att sqrt(2)=a/b, med a,b heltal. Sen visar vi att både a,b inte kan vara heltal pga. hur sqrt(2) är definierat. Det du gör här är samma sak som att från detta dra slutsatsen att sqrt(2) därför är felaktigt definierat och inte existerar, eftersom vi vet att a,b är heltal.
Jo det spelar stor roll om du har en lista eller en mängd. Jag förstår inte hur din "konstruktion" skulle lösa något, och du har fortfarande inte svarat på min gamla fråga om var talet 0.1 skulle ligga på din lista. Vi har att välja på att det inte existerar en lista som innehåller alla reella tal eller att definitionen av C är felaktig. Och om du hävdar att definitionen av C är felaktig: varför och hur? Och du får inte använda resonemang om vad Cs existens leder till, utan du måste i så fall hitta något ogiltigt steg i konstruktionen.

Nu blandar du samman listan och bijektionen igen!
Om du skriver nånting mellan de två första posterna på en lista
blir det som nyss var punkt två på listan punkt tre på listan!
Platserna i listan är inte på förhand utmärkta med tal!
Det ÄR en bra fråga du ställer här: Just nu vill jag bara ta reda på om vi är överens om att vid motsägelsen har vi att välja mellan att förneka bijektionen eller att förneka definitionen av C!
Det traditionella är ju att inte INSE att denna valsituation är för handen!

Men föralldel: Felet är att man antagit att ALLA reella tal är i listan...Och att tro att det sedan är korrekt att DEFINIERA ett tal som finns i listan och inte i listan.

När vi definierar C längs diagonalen så måste vi någon gång komma till den rad då "C i diagonalen" möter "C i listan"! Och C i listan måste, där diagonal och rad i lista, möts ha samma siffra som C i diagonalen OM C = C!
Men enligt definitionen ska varje diagonaldecimal i C skilja sig från varje decimaltal i listan så C = icke-C!
Definitionen (Som i sig själv är att jämställa med ett antagande!) strider mot antagandet!
Du säger att C inte finns i listan, men det gäller omvänt att C inte finns i diagonalen!
Eftersom en motsägelse uppstår när C i diagonalen möter C i listan så blir aldrig C färdigt!

Ja! Jag tycker mig se det! Och jag HAR försökt förklara vad jag ser.
En gång till:
VI antar att ALLA tal finns i listan...
OCH ATT C I LISTAN LIGGER FÖRST!
HUR får du då C I DIAGONALEN att existera?
Nja... det är en också en fråga om definitionen av udda och jämna tal... utan den distinktionen håller inte beviset.
Jämförelsen ÄR intressant men jag har inte hunnit smälta tanken på att att nåt kan vara fel med det traditionella beviset för de irrationella talens existens, så jag lämnar det åt sidan tills vidare.
Nä men titta du accepterar valsituationen!
Här är det jag sagt om mängden reella tal:
Jag försöker modifiera Cantors bevisföring till mängden reella tal.
Och tycker mig få fram en motsägelse:
Antingen finns C INTE i mängden av alla reella tal vilket är en motsägelse...
eller så finns C i mängden av alla reella tal vilket också är en motsägelse
eftersom C enligt definitionen skiljer sig med minst en decimal från varje tal i den mängden och alltså även från sig självt.
Och då står valet mellan definitionen av C eller existensen av R.
Jag har nog tyckt att det varit en pseudofråga... man kan nå varje tal i strukturen via val mellan höger och vänster: Så 0,1000... skulle motsvara höger,vänster,vänster vänster... Och sen kan man upprätta en bijektion genom att sortera efter antalet decimaler. Men HUR (och om)jag hade tänkt fixa en bijektion så att jag nådde varje reellt tal EFTER oändlighetsantagandet minns jag inte... det kan vara svårt ...
Jag hade en användning i tankarna...att visa att ALLA reella tal uppkommer samtidigt, men det har inte visat sig nödvändigt att använda strukturen... men jag tycker den är intressant och visar att man nog kan ordna en bijektion mellan de reella och de naturliga talen... kanske "packa in" samtliga reella tal i ett enda reellt tal? [På liknande sätt som man kan låta samtliga naturliga tal bilda ett (irrationellt) reellt tal. (0,123456789101112...)] Och sen ta fram de reella talen ett i taget för att erhålla bijektionen. Att du inte fick nåt svar berodde på att jag inte tänkt färdigt, och det har jag fortfarande inte gjort. Så det här är inget svar

Bijektionen är samma sak som listan, det är du som är förvirrad. Det vore bättre om vi enbart pratade om bijektionen mellan N och [0,1], då synonymer verkar förvirra dig.
Jo, det är de. Jag pratar egentligen enbart om existensen av en bijektion f: N --> [0,1], och f tilldelar ett tal i [0,1] till varje heltal k (varje plats på listan).
Ja, och det är en fråga som du igen inte alls svarar på! Cantors bevis fungerar eftersom definitionen av C ganska uppenbart inte är felaktig eller ogiltig. Och därför kan man inte välja hur som helst: det är uppenbart att det är antaganden om bijektionens existens som är felaktigt. Precis som i beviset om att sqrt(2) inte är rationellt: där kan man väl "välja mellan" att sqrt(2) inte existerar (vilket är uppenbart osant, eftersom vi igen har en explicit konstruktion) och att sqrt(2) inte är rationellt. Exakt samma logik gäller här.

Igen, det där pekar inte ut ett fel i definitionen av C. Definitionen av C är själva förfarandet, givet bijektionen f definierar vi siffran nummer k i C enligt C_k = f(k)_k' där 0'=1, 1'=0. Finns det något fel eller något problematiskt i denna definition? Om du inte kan hitta något som är fel i denna enkla definition, kan du inte "välja att Cs definition är felaktig", eftersom den inte är det! Spelar ingen som helst roll vad existensen av C leder till, om konstruktionen av C är korrekt så existerar C. Och om man inte hittar några problem med konstruktionen av C, så måste det andra antagandet vara fel, och vi har bevisat att bijektionen inte existerar.

Din logik här är helt fel. Titta på min definition av C, och berätta för mig på vilket radnummer k det där händer? För varje k kommer, per definition, C skilja sig från talet i rad k på decimal nummer k. Det du säger ska hända sker alltså aldrig. Och att C aldrig "blir färdigt" är en dum invändning, vi har definierat C_k för alla k i N så C är direkt "färdigt".

Logiken är mycket riktigt att existensen av C strider mot antagandet att bijektionens målmängd innehåller hela intervallet [0,1]. Och eftersom själva definitionen av C inte är felaktig, måste antagandet vara felaktigt.


Du borde se att det är exakt samma situation, tänk på det lite. Och det gäller vidare alla motsägelsebevis, man gör ett antagande, genomför något resonemang (i fallet med Cantor resonemanget/definitionen av talet C), ser att det strider mot antagandet och drar slutsatsen att antagandet är felaktigt. Det är precis vad vi gör här. Jag kan ta ditt "argument" och komma fram till att vilket motsägelsebevis som helst är felaktigt.

Jag förstår inte din konstruktion här, den tycks mig meningslös. För att applicera Cantors konstruktion behöver du ju en bijektiv funktion f:N-->R som låter dig definiera ditt decimaltal, och jag ser inte att du har någon sådan funktion här.
Ja, men exakt: i så fall hamnar talet 0.1 på "plats oändligheten" eller något sånt, vilket inte är godtagbart. Om du inte kan ge ett visst naturligt tal till t.ex. talet 0.1 har du inte konstruerat en bijektion.

Varför hoppade du över det här?

VI antar att ALLA tal finns i listan...
OCH ATT C I LISTAN LIGGER FÖRST!
HUR får du då C I DIAGONALEN att existera?

Du kan inte anta att C ligger på en viss plats i listan på förväg, eftersom C definieras utifrån listan. Om du sätter ett visst tal först på listan kommer så klart Cantorstalet för den listan skilja sig från det talet på minst första decimalen. Så, jag hoppade över det eftersom det är en fundamentalt dum fråga.

Citat:
Ursprungligen postat av sigurdV
Nu blandar du samman listan och bijektionen igen!
Citat:
Ursprungligen postat av Entr0pi
Bijektionen är samma sak som listan, det är du som är förvirrad.
Det vore bättre om vi enbart pratade om bijektionen mellan N och [0,1],
då synonymer verkar förvirra dig.

Njaeej! Vi reder ut förvirringen i stället:
Skriv ditt första tal i din bijektion på ett tomt papper.
Skriv sedan ditt andra tal ovanför det första talet!
Och ditt tredje underst på listan:
Har verkligen ditt första tal i bijektionen då första platsen på listan?

Som jag ser det har bijektionens första tal andra platsen på listan?
Du håller, om jag förstått dig rätt, inte med om det?

Det är kul hur du kan på ett så härligt sätt argumentera för en sak utan att ha den minsta förståelse för hur det fungerar. Du har vet inte vad en bijektion är, ordningen på listan spelar ingen roll.
Exempel
y = x + 1
då kan vi skapa ( x = 0,1,2,3)
x y
0 1
1 2
2 3
3 4
det är samma bijektion som om man hade haft:
x y
2 3
0 1
1 2
3 4
Det du vill göra är att ta ett tal som inte har en motsvarighet i värdemängden x = {0,1,2,3} och lägga det överst och tilldela det x = 0?

Stork123 förklarar det bra, det spelar ingen roll vilken ordning du skriver ner det på en bit papper, utan det som spelar roll är ihopparningen mellan heltalen och talen från [0,1], dvs hur min funktion f ser ut. T.ex. kan de första talparen väljas som (1,0.1), (2,0.2), (3,0.31) etc., och i så fall säger jag att första talet på min lista är 0.1 och tredje talet är 0.31. Så när jag i det här sammanhanget pratar om platser på en lista menar jag vilket naturligt tal som står i parbildningen min funktion f ger mig.

Du har fel här och vill inte medge det!

Mitt extra antagande kan kompletteras med extremt osannolika antaganden
som dock är logiskt möjliga och sålunda FÅR antas:
Jag ser in i framtiden upptäcker vad ditt C är och skriver C först på listan.
Nu KAN du inte förverkliga den framtiden men det är ditt problem tycker jag
för du följde med in i framtiden så du själv såg det tal du själv då tog fram

Det är helt enkelt så att du antar att alla reella tal finns på listan
och då har du antagit att alla reella tal du kommer att definiera i framtiden
REDAN finns någonstans i listan!

Jag går då inte med på att du tar fram ditt C med ALLA decimaler på en gång...
du måste göra ett induktionsförfarande där det klart framgår vad du gör
när ditt antagna "C längs diagonalen" möter ditt antagna "C i listan"!
För det uppkommer en motsägelse om du försöker applicera originaldefinitionen av C när du ska ge C i listan och C i diagonalen SAMMA siffra trots att din definition inte tillåter det!.

Och det är vad som är felet i definitionen... rätt svårt att se eller hur?
Det beror på att vad du ser som ett bevis för att bijektionen inte existerar
också bevisar att definitionen av C är felaktig.