Cantor och de reella talen.

Bra.

När jag säger "lista" i den här tråden menar jag (vilket jag tycker jag skrivit många gånger), precis en mappning mot N. En lista skiljer sig från en mängd just för att vi kan räkna upp elementen i tur och ordning: börja på plats 1, sen plats 2 etc., så det är precis en mappning till N. En mängd har inte den strukturen, du kan inte säga vilket som är andra elementet i intervallet [0,1] på något naturligt sätt.
Tallinjen är en mängd med en ordningsrelation, det är inte en lista. Du kan säga t.ex. 0 < 0.1 < 0.2 etc., men du kan inte säga att talet 0.1 står på plats nummer 20 eller något annat sånt. Så en lista är något annat än en ordnad mängd. [quote]
Ditt argument där funkar nog för varje ändligt antal decimaler k, eftersom du då har en oändlig mängd tal längre ner på listan (dvs. oändligt många tal placerade efter plats k), och cantors tal är ju definierat så att det skiljer sig tal nr n på (minst) den n:te decimalen. Men tänker man så ser man ju varför ditt argument inte funkar när du tar gränsen mot oändligt antal decimaler.
Ser du någon skillnad? Är det där inte bara två sätt att skriva samma sak? 1) leder ju direkt till 2), och 2) leder till 1), så jag tycker de ser helt logiskt ekvivalenta ut?

Ah ok, missförstånd av notationen där; då är vi nog av samma åsikt även där. Jag hade fått för mig att mängder med ordning kan ses som listor.

Jag trodde att Cantors tal förlitar sig på att listan har en mappning och att vi kan stega mellan talen; alltså att beviset gäller i gränsvärdestolkning. Det kanske inte förhåller sig så i och för sig. Det förlitar sig alltså snarare på någon följd av delmängdsaxiomet?

Om det är så ser jag åtminstone några skäl till varför sigge klagar; han är säkert i sällskap med alla som argumenterar för första-ordningens logik.

Skillnaden är väl ändå att 1 inte inför en lista som är en motsägelse. Kort sagt, 1 är inget motsägelsebevis så det bör skilja sig från 2 åtminstone på den punkten. Att de har samma resultat hoppas jag!

Jag har inget emot motsägelsebevis egentligen, men de som har det bör kunna titta på 1 (eventuellt tillsammans med symmetrigrupp-argumentet) för att se att |R|>|N| trots allt.

Hej allihop! (Även geniet smartochsnygg!) Vad ÄR egentligen en godtycklig lista?
Och speciellt då en lista med oändligt många poster!??
Jag frågade tidigare varför man inte får skriva cantortalet ovanför listan,
och jag kan inte erinra mig något begripligt svar på frågan,
så låt oss skriva ut listan på så sätt att vi fyller i den varannan gång överst
och varannan gång underst! Då ger oändlighetsantagandet oss en lista
som saknar FÖRSTA PLATS på listan och det finns då inte längre
något med hjälp av listan DEFINIERAT cantortal.
Vi måste då använda oss av BIJEKTIONEN som enligt antagandet innehåller cantortalet!
Skulle c finnas i bijektionen förändras c till ett annat tal ...
så C är aldrig C! eftersom C DEFINIERATS som negation till C!
Det finns INGEN mängd som kan innehålla ett tal som negerar sig självt!

Ja...men listan och bijektionen är INTE samma sak...bijektionen är densamma vilken lista man än använder...
Har du lagt bijektionen i listan har du antagit en bijektion mellan lisa och bijektion,
och eftersom du antagit att bijektionen innehåller alla tal inklusive cantortalet
så antar du att listan nu innehåller cantortalet varvid du definierar cantortalet så
att det NEGERAR varje tal i LISTAN.
Du LYCKAS på så sätt säga att C finns och inte finns i listan!
Och drar sen slutsatsen att alla talen INTE finns i listan!
Du ifrågasätter inte ditt sätt att definiera C!

JAG GÖR DET!

Ditt problem är att du uttalar dig om något du inte begriper:

1 OM Principia Mathematica (i originalutförande) är korrekt
så är Cantors diagonalargument ogiltigt.
2 OM mitt sätt att begränsa PM till endast paradoxala resonemang är korrekt
så är Cantors diagonalargument ogiltigt!

Du beskyller mig för att lämna ämnet:
Ditt problem är att du inte vill fatta vad jag säger ...
Du utgår från att jag har fel... du förutsätter vad du vill bevisa!

Nej, då har du inte förstått vad jag menar. Bijektionen och listan är exakt samma sak: en viss lista är samma sak som en viss bijektion. En lista över reella tal i intervallet [0,1] är ett sätt att sätta ett visst tal på plats 1, ett annat tal på plats 2 och så vidare. Så för varje heltal tilldelar vi ett unikt tal mellan 0 och 1. En sådan tilldelning, eller en sådan funktion, är vad man kallar injektiv eller 1-till-1. Om vi vidare antar, vilket är vad Cantors bevis börjar med att göra, att tilldelningen täcker alla tal i [0,1] (dvs. att alla tal i intervallet finns på listan), är tilldelningen/funktionen också surjektiv. En funktion som är både injektiv och surjektiv kallar man bijektiv. Så därför: vad Cantor antar är att det existerar en bijektiv funktion (en bijektion) mellan N och [0,1], och sen bevisar han att detta antagande leder till en motsägelse.

Början av stycket här är meningslöst pga. det jag skrev precis ovanför. Men sen ifrågasätter jag inte konstruktionen av talet c eftersom konstruktionen är så enkel, och det är för mig helt uppenbart att den fungerar. Vilket problem ser du med själva definitionen av c? Dvs. med hur Cantor utgår från den antagna bijektionen och konstruerar c.

Och du har helt rätt i att vi hittar en motsägelse, det är ju hela poängen: talet c finns per vårt antagande i listan (i bijektionens målmängd), men samtidigt bevisar vi att c inte finns i listan pga. hur c är konstruerad. Om vi hittar en sån motsägelse måste något av antagandena vara felaktigt, och det enda antagande vi egentligen gjort är att alla reella tal i intervallet finns på vår lista (eller just att det existerar en bijektion f:N-->[0,1]).

Det är en lista med frihetsgrader i de egenskaper där man inte definierar något explicit. I vilket fall som helst, jag har ett argument för |R|>|N| som varken behöver godtyckliga listor eller alla tal i listan.

Låt L vara en given lista som innehåller ett unikt reellt tal för varje n i N. Skapa Cantors diagonaltal; håller du med om att det är ett decimaltal som inte finns på listan? Skapa symmetrigruppen S(L), som alltså är alla olika sätt man kan ordna reella talen i L. Håller du med om att varje permutation av L ger ett nytt unikt Cantortal? Vi har alltså lika många olika reella Cantortal som det finns element i S(L). Kardinaliteten av S(L) är större än |L|. L delar som bekant kardinaltal med N. Det finns alltså fler Cantortal, baserat på en enda lista och dess permutationer, än det finns heltal.

En lista är en ordnad mängd platser... om vi antar att det finns minst en plats
mellan varje två platser på en lista så finns det lika många platser i en lista
som det finns platser mellan 0 och 1
Bijektionen innehåller ALLA reella tal... alltså kan varje tal,x, i listan vridas upp till diagonalen
oberoende av var det ligger i listan... det övriga talen arrangeras då om
så att listan fortfarande innehåller alla reella tal men diagonalen är nu x.
ALLTSÅ: OM x är ett reellt tal så kan det både ha en plats i listan och diagonalen.
Eftersom C INTE både kan ha sin plats i listan och i diagonalen så är C inte ett reellt tal.

För 99:e gången: Eftersom C skiljer sig från ALLA reella tal på minst en decimal
så skiljer sig sig C från sig självt på minst en decimal p g a sin felaktiga definition.

Och det spelar ingen roll om de reella talen ligger i en lista eller om de ligger i mängden av alla reella tal! Det är bara att göra en kopia av vilket som helst av de reella talen och sedan lägga ALLA reella tal på kopian på så sätt att varje tal unikt har en och endast en siffra i kontakt med någon av kopians siffror och sedan applicera cantordefinitionen... C kan förstås inte vara kopian men inte heller något annat tal i R eftersom C skiljer sig på minst en decimal från varje tal i R.

Vi har nu att välja mellan att hävda att det inte finns någon mängd
som innehåller ALLA reella tal eller hävda att definitionen av C är felaktig!

Jo det skulle då finnas fler Cantortal,
men eftersom det inte finns något enda Cantortal
så finns det inte det

Svårigheten jag stod inför från början var hur jag skulle kunna visa
att Cantors definition av Cantortal var inkorrekt. Jag var inte klar över den saken,
det blev lite grubbel, men jag tror att det är grejat nu: Vi får väl se!

C skiljer sig inte från alla reella tal. Vad har du fått det ifrån?!?

Det som på allvar är facinerande, är ju att dom algebraiska talen är uppräkneliga, så man kan ta med rotenur2, tredjerotenur5 osv, och ÄNDÅ är dom uppräkneliga!

Från #332.