Cantor och de reella talen.

Yeah, shit.. det där var slarvigt av mig och är såklart är det jag skrev helt fel... Ditt förslag låter bra.

Du säger att du ska bevisa att mängden av naturliga tal är oändlig utan att klart ange att du använder oändlighetsaxiomet i dina grundaxiom, det dyker i stället upp mitt i en argumentering och då förutsätter du det du vill bevisa. Det är en struntfråga och vi kan lämna den.
Nja...som du formulerade det först...
Jo jag måste nog ta upp det där så småningom

Kan du inte kosta på dig att bevisa det?
Jag har sett beviset förut men du kan väl tänka lite på dem som tar del av våra resonemang?
Beviset för de irrationella talens existens är ju ett VACKERT bevis... du får säkert många tack i tysthet (å där får du käre anonyme läsare en rak höger i plytet)!

Jag stretar nog emot lite grann...jag tycker det är viktigt att förstå varför Peanos system är viktigt!
Om jag inte minns fel var Cantor klar med sitt system INNAN Peano publicerade sitt,
så jag vill nog fortsätta inom Cantors system så länge som möjligt och önskvärt.
Jag accepterar,med förbehållet att om det visar sig nödvändigt
så kan jag lägga till konstruktioner i avsnittet innan avsnitt fyra
Och jag tycker det är av ALLMÄNT INTRESSE att vi går igenom talsystemet från grunden,
utan att snegla (så mycket) på vad talen så småningom ska användas till.
Om du slår upp en bok om talteori får du se hur de ilar förbi allting och nästan omedelbart
lägger fram ett algebraiskt fält, så att talteori är liktydigt med studiet av de rationella talens egenskaper. Det ÄR ju väldigt intressant men jag vill gärna dröja kvar på "nybörjarnivån" tills ALLA nybörjarfrågor är besvarade innan jag börjar med kapitel två.

Kropp, inte fält.

Det är det där med avrundning... att 0,11111...=1,00000...
Lika bra att säga ifrån på en gång att det segment av den reella tallinjen jag vill åt är alla reella tal som har enbart nollor till vänster om decimalkommat.


Förstår tror jag att jag gör men jag vänjer mig inte!
Jag STÖRS i tankeflykten av notationen...så jag förstår (mot min vilja)
hur andra störs av min notation: "P_n,n" (eller hur fanken det var nu igen. Orkar inte scrolla)
Välkommen ska du känna dig! Du verkar vilja gå igenom mitt resonemang från grunden
och inte nöja dig med mindre att du begriper det in i minsta detalj...
(Hur var det nu jag tänkte mig det hela???)
Och då ser jag att jag glömt att definiera ordnade par! om vi har två objekt,x och y,
som vi kan skilja åt och välja ordningsföljd dem emellan så gäller antingen
att <x,y> eller <y,x>...
Tar en rökpaus återkommer i listfrågan...faktiskt trevligt frågat!

Innan jag tar steget och accepterar oändlighetsbegreppet vill jag ha finita motsvarigheter till alla oöndligheter vi diskuterar efteråt. Det enda jag förutsätter är att vi har en intuition av den naturliga talserien där ingår efterföljarbegreppet (efter ett kommer två...) men ingen aktuell oändlig mängd existerar INNAN oändlighets axiomet!

Vi bygger upp (a) den naturliga talserien i binär form samtidigt som vi bygger upp (b) R, (d) "den naturliga diagonalen" (c)"Cantortalet", samt (e) bijektionen Och som första ögonblicksbild väljer jag situationen när vi har två naturliga tal:
(a)
00
01
10
11
(d)
01
(c)
10
(b)
{{00,01},{10,11}}
(e)
00={{00}}
01={{01}}
10={{10}}
11={{11}}
Och det tror jag är alla intressanta finita objekt. Fortsätt sedan någre steg längs den intuitiva naturliga talserien och iaktta hur de finita objekten växer... cantortalet återfinns ständigt i listan oavsett hur långt vi går i talserien ...och oavsett om vi möblerar om i listan...allt som händer då är att cantortalet får ett annat värde beroende på att diagonaltalet ändras men båda finns ändå i listan. Och i bijektionen! Detta hur långt vi än utvidgar de naturliga talen.
SÅ VARFÖR FÖRSVINNER CANTORTALET UR LISTAN NÄR LISTAN BLIR OÄNDLIG?
Mitt svar är att det BÅDE finns i listan och utanför listan men att det inte är riktigt samma tal...det skiljer sig från sig självt på ETT DIAGONALELEMENT:nämligen det som är identiskt med platsen på listan!
Vi har i detta läge bara att välja mellan att förkasta cantortalet eller oändlighetsaxiomet!!!
Alternativet att BARA förneka bijektionen föreligger inte eftersom bijektionen är en del av ett större bygge som rasar samman som helhet om endast bijektionen försöks förnekas!
Och slutpoängen är att OM vi förnekar cantortalet behåller vi bijektionen mellan de naturliga och de reella talen.

Jag väntar på den bijektiva funktionen, sigge...

Som sagt, när jag pratar om naturliga tal utgår jag från Peanos axiom (i likhet med de flesta matematiker). Men vi kan som sagt lämna den frågan.
Jag orkar inte skriva ner ett sånt bevis, känns onödigt då det redan finns många olika att läsa t.ex. här: http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2#Proofs_of_irrationality .

Den är ju där...ser du den inte? Den är inte bara antagen: den är definierad för alla ändliga värden i den naturliga talserien. Tillsammans med oändlighetsaxiomet följer att den är definierad för oändliga värden tillsammans med ett självmotsägande cantortal ...om man inte accepterar att ge cantortalet ett enda värde längs diagonalen där definitionen av cantortalet inte gäller så har man en motsägelse och bör ge upp cantortalet och behålla bijektionen...och DÄR är den! Den är inte lätt att se eller hur?

Konstiga saker händer ibland när man tar gränser mot oändligheten, och det är inte alls säkert att gränsprocessen beter sig som man först tror. Du hävdar att din bijektion överlever när du går till oändligheten: i så fall varsågod och svara på min fråga: vilken plats ligger talet 0.1000... på?

Och som du säger: även i din konstruktion, efter att du övergår till oändligheter, kommer cantortalet som du kallar det, inte finnas med på listan. Och eftersom vi har en precis konstruktion av cantortalet så är det uppenbart att det existerar, du kan inte bara "förneka det" och agera som om det löser något. Om vi kan konstruera något explicit är det uppenbart att det existerar, det hoppas jag du inser. Och att cantortalet "plötsligt" inte finns med i listan längre beror just på gränstagningsprocessen, att den inte är trivial utan seriöst ändrar strukturen hos din mängd. Och vadå, varför rasar det "större bygget" om vi förnekar bijektionens existens? Det har du inte bevisat. Så länge du agerar med finita mängder är det uppenbart att bijektionen finns, men det är inte uppenbart att det funkar när vi pratar om oändliga mängder, så ingenting rasar bara för att bijektionen inte överlever gränsprocessen.

Jag tror du missförstod mig. Jag har inte sagt någonting om avrundning. Ej heller har jag betraktat tal >= 1.

Jag vill bara slippa betrakta ändliga binära sekvenser. Därför byter vi ut alla sista 1r mot "0111...". Detta fungerar på samma som att 0,999... = 1 i bas 10. (Varför man skulle vilja skriva 1,000... vet jag inte)

Gott nog att förstå, då är det bara kämpa igenom tillvänjningsperioden också

Jag har inga problem med ordnade par och har inte ställt någon sådan fråga. Jag undrade vad <00> betydde.

Du förklarar inte tillräckligt bra, för jag förstår inte. Vilka är dina två naturliga tal?

Jag fattar ingenting, vilket naturligt tal mappar du pi på? Eller e? Eller fi? Förklara, please.

Du behöver bara tala om vilket naturligt tal som motsvarar pi och vilket som motsvarar gyllene snittet när du skapat din bijektion, sigge.

Vilka böcker i talteori har du läst?