Cantor och de reella talen.

Jag vill gärna tro att min matematiska notation är standard och vad du hittar om du läser lite matematikböcker eller artiklar.
Okej, men jag ställer ju frågan baserat på din fjärde punkt, så jag antog att din konstruktion i punkt tre var avslutad! Så jag ser inte hur det där är relevant.
Varför skulle definitionen av "..." vara felaktig? Är det inte rimligare att antagandet att bijektion existerar är felaktigt? Vad är problemet med oändligheter? Är det inte uppenbart att oändligheter existerar, iaf i någon mening? T.ex. mängden naturliga tal har oändligt många element, och mängden av alla reella tal mellan 0 och 1 har oändligt många element och så vidare. Eller tror du att det bara finns en ändlig mängd naturliga tal?

Den finns inte i Number Theory av J. Hunter. M.A.,PH.D. utgiven 1964. Så du har fel där!!
Jag är inte, som DU verkar tro; Matematisk Analfabet!
Ibland anar man inte slutet redan vid inledningen av ett resonemang... så är det tydligen här.

Accepterar du att:
(1) MED de två första naturliga talen (nollan får räknas dit) definierade SÅ ÄR mängden R= {{00,01},{10,11}}? En naturlig bijektion är då {(<00>= R0),(<01>=R1)}
(2) och att vi kan tolka siffrorna i de inre mängderna som en binär representation av de FYRA första naturliga talen, likväl som de fyra första decimaltalen mellan noll och ett? (Då med "0," till lagd framför decimalsiffrorna.)
(3) och att vi kan definiera den naturliga diagonalen vid de två första naturliga talen som "01" samt cantortalet som "10" ?(det ska ju skilja sig från diagonaltalet i varje element i diagonalen!)
(4) och att både det naturliga diagonaltalet (=d) och cantortalet (=c) FINNS i listan?
(5) samt att listan är ordnad så att de kommer i ordning efter vår intuitiva naturliga talserie!
(6) Nu tillför vi de naturliga talen ett och ett i taget
och stannar i den motsägelsefria finita matematiken,
eller godkänner oändlighets axiomet och ser vad som händer
Därför att om inte den oändliga bijektionen existerar så existerar inte mängden av reella tal!
Och inte heller mängden av de naturliga talen. De visar sig vara finita mängder!
Men för all del om du föredrar finit matematik så är det en logisk möjlighet.
Jag däremot försöker anställa så liten skada som möjligt! Cantors Bevis ,anser jag, är felaktigt
men oändlighetsaxiomet måste inte förkastas för den skull...det räcker med att förkasta Cantortalet!

Tro och vetande är inte samma sak. Inom matematiken gäller bevis! Inte TRO!
Iofs kan väl ingen av oss föreställa oss en oändlig mängd,
alla mängder vi föreställer oss är väl finita?
Ytterst bygger vår föreställning om oändliga mängder på ett antagande, som vi väl kan kalla "oändlighetsantagandet".
Man kanske kan tala om ett axiom. Men även här är vårt språkbruk förrädiskt:
Axiom ÄR antaganden som inte ifrågasätts!

Varför skulle icke-existensen av bijektionen innebära att mängderna är ändliga, eller att mängden reella tal inte existerar? Om du hade något argument för detta får du skriva ner det mer ordentligt och förståerligt. Att det inte finns en sån bijektion visar bara att de naturliga och de reella talen som mängder har helt olika struktur och inte kan sättas i något 1-1 förhållande med varandra. Allt annat är att dra på tok för stora slutsatser.

Och igen, du svarar aldrig på min fråga. Har du ett svar eller inte?

Jag kan föreställa mig en oändlig mängd, det är inget problem. Och som du säger: matematiken bygger på bevis, så här är ett bevis för att mängden naturliga tal är oändliga:
1. Antag att de naturliga talen är en ändlig mängd.
2. Eftersom de naturliga talen är en ordnad mängd, med ordningsrelation < (mindre än), existerar i så fall ett största naturliga tal, kalla det n.
3. Men enligt Peanos axiom är även s(n) (efterföljaren till n) ett naturligt tal, som ju i så fall är större än n.
4. Vi har då en motsägelse: n är inte det största naturliga talet, vilket motsäger vårt antagande. Så vårt antagande om att naturliga talen är en ändlig mängd måste vara fel.

Voila, där har du ett enkelt bevis på att de naturliga talen är en oändlig mängd. Igen är det ett motsägelsebevis, precis som dbshws bevis om primtalen. Jag kan använda exakt samma bevis för att bevisa att mängden reella tal är oändlig, bara jag ersätter n med det största reella talet, och s(n) med t.ex. n+1 vilket ju igen är ett reellt tal. På liknande sätt kan jag bevisa att mängden reella tal mellan 0 och 1 också är en oändlig mängd (anta att mängden är ändlig, i så fall har den ett största element r, konstruera R= r+ (1-r)/2 <1, R>r, få motsägelse -> mängden är oändlig). Så du ser att mängder är oändliga är inte något vi bara antar utan bevis, utan något som följer från axiomen och våra definitioner av naturliga och reella tal.

Peanos efterföljaraxiom är i själva verket oändlighetsantagandet i en av dess formuleringar...
så du har bara presterat ett cirkelbevis! Ditt bevis är ogiltigt.

Och du tror felaktigt att du kan föreställa dig en oändlig mängd.
Allt du gör är att föreställa dig oändlighetsaxiomet!

Kunskapen här är uråldrig och återfinns i sagans värld:
Det var en gång en gumma som samlade ris. Hon tog en kvist och sa
orkar jag den så orkar jag nästa... och så höll hon på tills hon ramlade ihop
av kvistarnas tyngd. Då kastade hon undan en av kvistarna och sa:
orkade jag inte den så orkar jag inte heller nästa...
och så höll hon på tills det inga kvistar låg kvar och hon fick gå tomhänt hem igen.

Vi måste ju utgå från axiomen, annars kan vi inte prata om matematik på ett meningsfullt sätt. Så självklart använder jag mig av Peanos axiom för att bevisa att N är en oändlig mängd, eftersom Peanos axiom är vad som definierar vad ett naturligt tal är. Detta är inte ett cirkelbevis, utan hur alla bevis i matematiken fungerar: man utgår från axiomen och använder dem för att bevisa sitt påstående. Mitt bevis är så klart väldigt enkelt och man ser direkt från Peanos axiom att de naturliga talen är oändligt många, men om du kallar det ogiltigt verkar det som du inte alls förstått hur matematiska bevis går till.

För att fortsätta diskussionen tycker jag du måste acceptera att vi utgår från Peanos axiom för naturliga tal: annars kommer vi aldrig någonstans.

Om jag får se en bijektiv funktion mellan dom reella och dom naturliga talen, så ska jag erkänna att Cantor hade fel.

Ställ dig i kön jag har inte så förfärligt bråttom,
en sak i taget är min paroll här inne!

Bra bra

Det går bra men det ändrar inget; ditt bevis är fortfarande cirkulärt
men giltigt om man accepterar oändlighetsaxiomet!

Finitistisk Matematik kan acceptera en försvagad variant: som skiljer
(så som Aristoteles gjorde) mellan potentiell och aktuell oändlighet.

Men jag accepterar faktiskt oändligheter (än så länge)!
Fast i mitt bevis för att Cantor hade fel...som i så fall får premiär här i tråden...
börjar jag från finitistisk grund och bygger de finita motsvarigheterna till
de oändliga mängder som uppkommer via oändlighetsantagandet!

Man kan använda finita serier av rationella tal för att med godtycklig noggrannhet
approximera varje, icke aktuellt men potentiellt, existerande reellt tal.
(För det är ju vad man gör i praktiken! ... 1/3= 0,333...= 0/1+3/10+3/100+3/1000...
notera att alla rationella tal även är reella jag borde förstås använt ett irrationellt tal som exempel...men jag var lat.)

Det gäller de flesta matematiker men Intuitionistisk Matematik (exemplifierad i Kronecker och Brouwer) menar att vi har ett intuitiv förståelse för de naturliga talen...
och utgår inte från Peanos axiom.
Jag accepterar dock inte den matten eftersom den inte accepterar den klassiska logiken.
Det är då FAN om ingen grupp ska kunna inkludera mig...
Hur var det nu man kategoriserade Matematiker?
Formalister...
Platoniker...
Hur fortsätter det?

Som sagt, om det beviset är cirkulärt kan du väl se alla matematiska bevis som cirkulära eftersom de använder sig av axiomen och tidigare resultat... Det enda som skiljer mitt bevis från beviset av något mer komplicerat, som t.ex. dbshws bevis om primtal, är att det är enklare och mer direkt hänvisar till axiomen. Du kanske tycker det är uppenbart att axiomet att alla heltal har en efterföljare innebär att N är en oändlig mängd (och det är ju ganska uppenbart, kan jag hålla med om), men vill man vara riktigt noga får man ju bevisa det vilket var vad jag gjorde. Det är iaf. bra att du backade från det du först påstod, att beviset var ogiltigt.

Men okej, hur som, om du accepterar oändligheter kan vi väl fortsätta förbi din punkt nr 3., och du kan svara på min fråga om vilken plats talet 0.1000... hamnar på i din "lista"?

Sen, irrationella tal existerar, så trots att du kan approximera vilket reellt tal som helst med rationella tal, så är mängden reella tal inte samma sak som mängden rationella tal. I någon mån är Cantors bevis ett sätt att se precis detta.

Och angående Peanos axiom, kan vi för diskussionens skull hålla oss inom "mainstream" matematik och acceptera dem som grunderna för de naturliga talen?

Med anledning av detta och lite annat, föreslår jag att vi skriver om alla (nollskilda) tal som har en ändlig binär decimalutveckling. Den sista 1:an i utvecklingen byts ut mot 0111...

eftersom 0.01 = 0.0011111...


SigurdV: du pratade om matematisk beteckning och att det var någon beteckning du inte förstod.

1. Vilken?
2. Vad betyder <00>?

SigurdV: Jag har lite andra frågor:

1. Du pratar om att {{00,01},{10,11}} är en lista. Du har alltså en lista med mängder?
2. Om intervallet I=(0, 1), delas upp i två delmängder R0 och R1 beroende på om deras första binära decimal är 0 eller 1, då kan man inte bilda en lista genom att endast konkatenera R0 och R1. Inte på något annat sätt heller för den delen. Problem kommer av att R0 är överuppräknelig.