Cantor och de reella talen.

Det är ju lätt som en plätt, 0 är inte med.

Jag beskrev vad en definition var i inlägget du citerade, om du vill ha en mer utförlig beskrivning erbjuder Wikipedia en utmärkt sådan.

I övrigt så kan det absolut vara obekvämt att brottas med uppräkningsbara och icke uppräkningsbara oändligheter. Även om jag tycker mig förstå konceptet någorlunda så kan det te sig något förvirrande. Man ska nog också vara tydlig med att vi här använder oändlighetsbegreppet i en viss kontext, och att det kanske inte ska betraktas som allmängiltigt. Ta som exempel att de rationella talen är lika många som de naturliga i meningen att det finns en bijektion mellan dem. Å andra sidan är det intuitivt orimligt att de rationella talen inte är fler; de består ju trots allt av alla naturliga tal, och ett (oändligt) antal tal till. Givet en viss förståelse av "antal" så är det rimligt, annars inte.

Givet en viss förståelse av oändlighetsbegreppet så kan vi tala om oändligheter i Cantors anda, och inom matematiken har detta visat sig fruktbart. Försöker man däremot förankra det i någon slags vardagsförståelse så blir det i bästa fall märkligt, och i värsta så går det inte alls. Du som teoretisk filosof borde väl, om någon, inse kontextberoendet

(A) Förlåt " ... " men jag hittar ingen åtta i listan!
Du erkänner nog att det inte finns några VERKLIGA oändligheter,
så frågan är om jag förstår
och accepterar din definition av de naturliga talen.
Den har jag inte sett förut! Morr! Grrr!

(B) Hur är det nu man introducerar dem? ... :
1 till varje naturligt tal ,n, hör en, och endast en, efterföljare: n+1
2 varje n är antingen 0 eller en efterföljare
Behöver vi fler egenskaper eller är det som ovan du menar?

(C) Vad jag är ute efter!? Det blir en ganska lång lista.
Och inte allt på listan är oberoende av det övriga på listan.
Men jag försäkrar att mina avsikter är vetenskapligt och filosofiskt acceptabla.
Man skulle kunna säga det så att jag söker mig mot grundläggande förståelse.
Mest för förståelsens egen skull: Jag räknar mig ogärna till något sammanhang.
Är nöjd med mig själv och springer inte andras ärenden.

(D) Cantor och oändlighetsbegreppet tycker jag är spännande,
och genom att ifrågasätta något centralt ...
tänkte jag tvinga fram (egen och andras) förståelse.
Du har , vad jag förstått , erkänt att det fungerat i ditt fall
och jag erkänner att jag tvingats tänka efter både en och flera gånger
när jag läst vad du skrivit. (Utan att gäspa dessutom!)

Han vägrar nog att acceptera noll som "naturligt" ... Bra kommentar annars!

Nu börjar du bli rätt dryg här. a_7=7, vilket framgår. a_8=1+a_7=1+7=8. Kom med vettiga invändningar, annars slutar jag skriva. Till och med en sjuåring kan räkna ut att 8 var nästa tal i talföljden.

OM a_1=1 OCH a_(n+1)=1+a_n
finns det då något naturligt tal som denna rekursiva definition inte kan producera?
Det behövs fler. Det finns visserligen flera sätt att göra det på, men titta på detta:
http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms

Nej, jag tyckte mest bara att det var en dryg och onödig kommentar i en redan långdragen tråd.

Jo det förstod jag ju, hur skulle jag annars fått iden att fråga efter just åtta?
Men jag tror jag måste förklara bättre vad min invändning måste vara:
Hur många gånger man än tar steget från ett tal till nästa
så finns det fortfarande tal man ännu inte tagit steget till.
Hur kan man då någonsin säga att man kontrollerat att ALLA tal finns med i listan?
Det enda man KAN kontrollera är om ett visst bestämt tal finns på listan!
Det är bara att gå baklänges från talet till listans början.

Jag hoppas verkligen att du inte tycker att jag är dryg.
Jag gör bara mitt jobb!
Att förklara varför jag inte längre accepterar beviset.

Okej, svaret på hur vi vet att alla tal är med i listan är på grund av induktionsaxiomet för naturliga tal. Se https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms#The_axioms, och titta på axiom 9. Det säger att om vi har en mängd K av naturliga tal, med egenskaperna att:

• 0 är i K,
• om talet n är i K är även S(n)=n+1 i K,

så är K mängden av alla naturliga tal. Observera att de här innefattar 0 i de naturliga talen, om man inte vill ha med noll kan man såklart ersätta det med 1. Detta är ett axiom, och om du vill kan du se det som en del av definitionen för vad vi menar med "naturliga tal". Och detta axiom, denna egenskap hos naturliga tal, är anledningen till att bevis mha. induktion funkar i matematiken. Och såklart tar vi detta för givet så fort vi pratar om naturliga tal, eftersom det så att säga är en del av definitionen.

Jag förstår inte hur du tänker här...det kan finnas fler än ett antagande i en slutledning som leder till en motsägelse...är det inte då rimligt att anta att det är det närmaste antagandet som är felaktigt? Och det var ju att listan innehöll alla decimaltal...om detta antagande inte gäller så har vi bevisat att vi har ett tal som borde finnas på listan och VAD hindrar oss då att lägga talet till listan för att försöka färdigställa den? Jag säger INTE att inget hinder finns ...jag vill bara ha det eventuella hindret klarlagt!

Som sagt. Du kan inte hitta ett enda tal som inte finns med, och jag tror du inser det också. I övrigt hänvisar jag till det Entr0pi skriver. Att ifrågasätta att alla naturliga tal finns med är att ifrågasätta själva induktionsaxiomet.

Jag tror du har hakat upp dig på just ordvalet "alla". Med detta menar jag helt enkelt att genom att stega sig fram i talföljden kan du faktiskt ta dig till vilket naturligt tal som helst, och detta med ett ändligt antal steg. Tvivlar du på detta faktum?

Det finns många sätt att göra en följd så att alla naturliga tal finns med. Vi kan exempelvis hyfsat enkelt hitta en formel som ger följden 3,2,1,6,5,4,9,8,7,...

Och som nämnt kan man göra det även med rationella tal. 1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 4/1, ...

Men du kan inte göra detta med reella tal.

Det som hindrar oss är att vi inte har specificerat hur listan av reella tal ser ut. Att ett tal fattas gäller oavsett hur listan ser ut.

Nu använder du din egen vardagsinnebörd av ordet uppräkning i stället för den precisa betydelse ordet har i det aktuella sammanhanget.

Du menar att det inte är nån ide att lägga till talet på listan
eftersom det då finns ett nytt tal att lägga till...
Men detsamma gäller ju de naturliga talen:
hur många tal man än skrivit upp på listan
så finns det en efterföljare som inte skrivits ner på listan.

För varje decimaltal som inte finns på listan
finns ett naturligt tal som inte heller finns på listan.

Det är skillnad mellan listor och mängder verkar det som:
Mängder finns möjligen redan färdiga, men listor måste konstrueras.

Förresten ÄR inte ett decimaltal en lista?

Du säger att det inte spelar nån roll hur DU konstruerar DIN lista,
men JAG får bara göra MIN lista på DITT sätt? Är det rättvist? Rimligt?

Är reella tal verkliga? Eller nån slags ouppnåelig fantasi?
Vi kan alltid tala om vilket värde mellan noll och nio den n:te decimalen har,
men vi har alltid kvar att bestämma värdet för den (n+1):a decimalen
så när du säger att alla decimaltal finns i listan så har du alltså först DÅ
bestämt alla värden på decimalerna i det första decimaltalet...
innan dess VISSTE du inte vilket det första talet var eller hur?

Du fuskar ju! Så här gör vi det rättvist! Du sätter ut rätt siffra i decimalen n
samtidigt som jag sätter utt det naturliga talet n i dess naturliga position i listan.
Det verkar finnas en avgrundsdjup skillnad mellan naturliga tal som KAN vara verkliga ...
Och de reella talen som möjligen INTE kan finnas i verkligheten!

Visst är det väl så att innan ditt SISTA decimaltal skrivits på listan
så har du ingen aning om vilka tal som finns på listan eftersom inget tal var färdigt?
Diagonalen fanns ju inte färdig...
Så samtidigt som ALLA reella tal bestäms
så plockar du fram ett till SOM INTE VAR BESTÄMT DESSFÖRINNAN...
Förlåt men verkar inte det lite skumt?

Kan det ens finnas en MÄNGD innehållanda ALLA reella tal?
Gäller inte mitt resonemang mängdens samtliga element?
Visst framkallas ALLA reella tal samtidigt? INTE KONTINUERLIGT I FÖLJD!

Kanske du introducerar en motsägelse varje gång du påstår dej ha skrivit färdigt ett decimaltal?
Och det är därför du kan fortsätta och plocka fram hur många nya som helst?
Bli inte arg på mig nu! Jag gör bara mitt jobb...att undersöka argumenten hit och dit i beviset ...
och ju mer jag tittar desto sämre ser situationen ut för de reella talens existens i listor!
Om det inte finns bra svar på mina frågor vill säga

Post Scriptum: Jag har inte hunnit kolla svar och reaktioner än...Jag är liksom i grubbel-läge just nu och tror att OM ett enda reellt tal är färdigskrivet i alla decimaler SÅ är ALLA reella tal samtidigt fullständigt definierade. Decimaltalets första decimal är identisk med andra decimaltalets första decimal och första decimaltalets andra decimal är identisk med tredje decimaltalets första decimal och så där håller man på tills alla decimaltal har fått sin första decimal definierade... samtifigt skapas alla möjliga diagonaltal som vart och ett bildar en egen lista med decimaltal som definieras samtidigt med första diagonalen...(Puh!) Därnäst fortsätts med andra decimaltalets andra decimal o s v tills alla decimaltals alla decimaler är bestämda. Inklusive alla diagonaltal som kan bildas under tiden... jag tror inget rum innehåller tillräckligt många dimensioner för att kunna innehålla alla reella tal ... men det får jag fundera lite mer på: Jag begriper nästan inte ett dugg vad jag pratat om nu eftersom jag aldrig tänkt de här tankarna förut.