Cantor och de reella talen.

Ja ...visst ...sure...men du har ju för avsikt
att plocka fram ett tal som inte finns med i listan?
Jag är lite "ironisk" och säger att du "bara" glömde ta med det i listan

Definiera en funktion f(n) : N -> R på ett sådant sätt att du kommer att få med ALLA tal i R. Jag ställer inte kravet att funktionen ska vara bijektiv, men däremot att den ska vara surjektiv. Det enda övriga kravet jag ställer är att för alla x i R så finns det (minst) ett n sådant att x = f(n).

Om du klarar det vinner du. Jag kan ge dig en sådan funktion för N -> Q.

Jag är kanske lite extravagant men hur översätter du (...aldrig skall du tro att ingenting är...) till en korrekt definition?
Vi bör ta det lite lugnt. Jag tycker du ignorerar mitt argument.
Nämligen att du inte skiljer på platserna och talen!
Bara för att du (och cantor) skrivit ner vad ni ANTAR är alla decimaltal
i tur och ordning i en lista så har ni INTE ännu upprättat en bijektion till de naturliga talen!
Vad ni har är en bijektion till en ordnad serie platser
som kan betecknas som förstaplatsen...andra platsen ... och så vidare.
Till varje sådan plats finns kvar en tom plats till vänster,
där vi kan placera ut naturliga tal
Nu kan det finnas olika sätt att fylla platserna med naturliga tal...
om det finns ett sätt att fylla platserna så att det blir lite naturliga tal över...
får det sättet inte användas då? Varför inte?

Kanske vi ska börja om och inte alls prata om någon lista?
Men i så fall har jag i alla fall vunnit första ronden!
Men det får vi ta i morgon ...det har blivit sent.
Skojigt var det hur som helst...Tack för en fair fight!

Vet ej, och jag bryr mig faktiskt inte. Översättningen är inte mitt jobb, och jag ser inte relevansen.
Jag tyckte det var rätt uppenbart att jag valde de naturliga talen så att de var lika med sin placering, men nu är det hur som helst förtydligat.
Jag väljer helt enkelt varje naturligt tal i listan på så sätt att det är lika med sitt platsnummer. Problem solved. Det finns ingen som helst anledning att inte låta mig göra det, och det finns heller ingen som helst anledning att välja en annan numrering. Klart att det finns sätt att välja de naturliga talen annorlunda så att det blir luckor, men det finns ingen anledning att göra det. Därför gör jag inte det.
Det ser jag ingen anledning till.

Jag tänkte sammanfatta lite av kritiken mot din invändning.



Beroende på hur vi väljer talen från N när vi radar upp dem i någon form av ordning så kan det mycket väl vara så att det fattas tal i följden. Det har ingen betydelse. Det viktiga är att det är möjligt att ordna dem i en följd så att det inte gör det.

När det gäller de reella talen har vi visat att oavsett hur du lägger ut talen så kan du alltid hitta ett tal som garanterat inte finns med i listan. Det spelar ingen roll alls hur listan ser ut. Man kan alltid hitta ett reellt tal som inte är med.

Ditt försök med att infoga ett nytt tal bland de naturliga talen har en viktig brist som berör detta. Du kan inte garanterat hitta ett tal som fattas om du inte får bestämma hur listan ser ut, vilket du gör när du modifierar den innan du konstaterar att talet ett fattas. Talet du vill lägga till till den reella listan hittar du utan att göra några som helst modifieringar av listan. Det är en avgörande skillnad.

Jag vill också belysa en liten sak. Om du har uppräkneligt oändligt många element av en mängd i en lång följd kan du alltid arrangera följden på ett sådant sätt att du kan hitta ett specifikt element (om elementet finns i följden) genom att stega dig fram ett ändligt antal gånger från början mot "slutet".

När du infogar dina nya reella tal måste du göra det på ett av två sätt. Det ena sättet är att infoga dem i "slutet". Detta går inte eftersom det inte finns ett slut, men om vi antar att det går så skulle de elementen du infogar inte gå att nå genom att stega sig fram med ett ändligt antal steg.

Det andra sättet är att infoga dem på en specifik position. Alla tal som kommer efter din oändliga infogning kommer att ligga oändligt långt bort, och således är inte mängden uppräkneligt oändlig. Kom ihåg att det är ett oändligt antal reella tal du ska infoga.

Och ja, du kan göra något liknande med de naturliga talen också. Rada upp dem så att "alla" udda kommer först, och därefter de jämna. Nu kommer man aldrig att komma till de jämna, men en viktig skillnad är att vi kan aktivt välja mellan att se till att vissa tal går att nå och att inte göra det. Med de reella talen har vi inte det valet.

Det är om inte annat väldigt opraktiskt att ha en personlig och från den vedertagna avvikande förståelse av ett begrepp. Poängen med en definition är att göra en avgränsning genom att förtydliga vad något är och vad något inte är, om vi hade kunnat bevisa detsamma hade definitionen alls inte behövts.

Jag tror att ditt problem med Cantor och hans motsägelsebevis är att du ser antagandet och motsägelsen som två olika företeelser, men vad som gör det till ett motsägelsebevis är just att motsägelsen följer av antagandet.

Om vi antar att listan innehåller alla reella tal, så kan vi visa att så inte är fallet.

Eller, för att använda satslogik för att förtydliga ytterligare:

Om A så inte A.

Jag kan inte tillämpa din metod och lägga till tal i listan, för jag har redan antagit att den innehåller alla tal. Du har att välja mellan att förkasta ditt antagande (dvs att de reella talen är uppräkningsbara), eller att förkasta "law of noncontradiction", vilket skulle vara förödande för vår förmåga att alls kunna dra några slutsatser om något.

Du kan mycket väl ifrågasätta beviset, men måste i och med detta också ifrågasätta hela vår logiks giltighet, och därmed ditt egna ifrågasättande. Däremot håller jag med om att det är sunt att ifrågasätta och försöka kullkasta bevis så långt det bara går, det tvingar både en själv och andra att tänka ett varv till.

Framförallt är det viktigt att förstå att antagandet inte är att det går att skapa en uppräkning bestående av decimaltal, utan att det går att skapa en uppräkning innehållande alla decimaltal.

Sedan visar man att trots att uppräkningen ska innehålla alla decimaltal, finns det lik förb@nnat decimaltal som inte täcks av uppräkningen. Slutsatsen är att det inte går att skapa en uppräkning innehållande alla decimaltal.

Det uppskattas! Det kan bli lite hetsigt vid replikväxlingar... så jag passar på att förklara att
OM jag i stridens hetta kallar dej "fårskalle" så menar jag givetvis "Intelligent och Respekterad fårskalle"...
Och: Ja! Jag invänder mot bevisningen i Cantors diagonal bevis ,
UTAN att jag för den skull förnekar (exempelvis) att mängden delmängder av x inte har samma kardinalitet som x.

Eftersom jag inte har tillgång (har googlat lite) till Cantors Originalbevis
är jag glad att du ställer upp som stridbar och intellektuellt ärlig ersättare för Cantor.
Såna växer inte på träd här inne på flashback dessvärre...men nog om det:
Låt nu se vad du har totat ihop denna gång?
Jag har alltid tagit parti FÖR Cantor MOT Kronecker... det känns egendomligt att ha bytt sida! Även om det bara gäller EN fråga.
Jag tvingas kanske hävda att det beror på att ingen lista innehåller någon oändlig mängd!

Tvivlar lite på att det är en sådan skillnad...
Men jag får väl fixa en lista som jag inte behöver modifiera för att göra dej till viljes:

Jag väljer ut en plats som första plats på listan och placerar ettan där.
Samtidigt skriver jag ut ditt första decimaltal så att nåt vettigt blir uträttat.
Sedan flyttar jag ettan till andra platsen som får tills vidare vistas där
tillsammans med ditt nästa decimaltal och placerar tvåan på första platsen ...

Och så fortsätter vi på samma sätt "knuffa de naturliga talen vidare genom listan,
samtliga parade med ett och endast ett decimaltal, ... ,
tills du känner för att anta att alla decimaltal finns med på listan.
Det låter riktigt...Påminner mig om s k "Matematisk Induktion".
Öh? MINA nya reella tal? Och det finns aldrig nåt slut? Jag vände ju på MINA tal så att det där med "slut" och "oändligt avstånd" skulle synas lite klarare. (Jag hoppas vi ska kunna begripa det där med "fullständiga" oändliga mängder nån gång.)
Tänk så knepig oändligheten är! Jag tror inte det är fullt klart för alla (inklusive mig själv) vad min invändning egentligen går ut på?!
Möjligen påminner den om Aristoteles förnekande av AKTUELL oändlighet... han menade att alla oändligheter endast är POTENTIELLA! Och jag menar möjligen att ditt antagande att du skrivit listan färdigt...alltså att du verkligen FYLLT LISTAN med en oändlig mängd reella tal är att jämställa med antagande om en aktuell oändlighet.
Hmm... jag kanske borde fundera på vad man kan göra och inte göra med reella tal... öh...Det kanske kan vänta tills den här tvisten är avgjord?

sigurdV gnuggar sina ögon! Jo han ser vad det står! Nyper sig i armen: Jaså han ÄR vaken!

Jepp! Så vad är en definition enligt dej?
Tror nog att jag kanske hävdar att antagandet att en lista innehåller en oändlig mängd möjligen är en kontradiktion.
Och vi kan visa att den inte heller innehåller alla naturliga tal OM jag har rätt i att INGEN lista innehåller en oändlig mängd.
Jag försäkrar att jag inte ens under dödshot (Hmm...?)
skulle förkasta den Klassiska Logiken!
Är du säker på att det inte är du som förkastat den?
Du förnekar ju det du läser just här och nu!

Jag måste säga att det är lite påfrestande att diskutera detta med dig, men samtidigt givande eftersom jag tvingas analysera en hel del. Ibland känns det dock som att jag måste säga samma sak flera gånger, och det blir lite drygt.
Det kan du hävda om du vill, men vi kan i så fall istället tänka oss en talföljd, för de kan med bestämdhet vara oändliga. För de naturliga talen säger vi att a_1=1 och a_(n+1)=1+a_n. Där har du en rekursivt definierad talföljd som garanterat har med alla naturliga tal. Jag kan göra en för rationella tal också, men ej för reella.
Två invändningar här:

Vilket naturligt tal finns på plats nummer 1? (eller 3 eller 8 eller vilke plats som helst) Det kan du inte säga. Din lista är inte tydligt definierad.

Och återigen bryr jag mig inte om din modifierade lista av naturliga tal. Håll dig till den vi redan har använt, dvs a_(n+1)=1+a_n.
Kalla det vad du vill. Det är du som vill infoga nya tal i listan. Jag vet inte riktigt vad du vill säga här, men om du har en talföljd definierad som ovan finns inget sista tal, och således måste det finnas oändligt många tal i den.
Det tycker jag inte, då det är väldigt centralt i den här diskussionen.




Men jag vill påpeka att jag inte kommer att kommentera fler inlägg där du skapar en lista med naturliga tal i en annan följd en den där varje naturligt tal i listan är lika med dess positionsnummer.

Så som jag ser det har du två sätt att bevisa att #(N)=#(R), dvs att de innehåller lika många tal. Det första är att bevisa att R är uppräkneligt oändlig, vilket jag redan har förklarat vad det innebär. Ett annat sätt är att bevisa att N är överuppräkneligt oändlig. Båda två kommer naturligtvis att misslyckas eftersom så inte är fallet.

(I egentlig mening är den andra metoden inte korrekt, eftersom även överuppräkneliga mängder kan ha olika storlek, men det behöver vi inte gå in på.)

Jag vill också passa på att fråga vad du egentligen är ute efter. Försöker du hitta luckor i Cantors bevis? Försöker du bevisa att #(N)=#(R)? Försöker du visa att det inte finns olika stora oändligheter?

Jag vill nog gärna vidga slutsatsen till att det inte heller går att skapa en uppräkning innehållande alla naturliga tal.

Titta på denna uppräkning:

Låt a_1=1
Låt a_(n+1)=1+a_n

Följden är 1,2,3,4,5,6,7...

Om nu inte alla naturliga tal finns med i den följden borde du kunna visa ett som inte gör det.