Gradient, tangentplan & normal

Hej!
Första posten på flashback och jag hoppas att någon därute kan hjälpa mig!
Jag har följande flervariabelanalysproblem:
”Bestäm ekvationer för alla plan som tangerar ytan x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 6 och som innehåller punkterna (6, 0, 0) och (0, 3, 0).”
Punkterna behöver som jag förstått det inte ligga på ytan utan bara i tangentplanet.

Jag antar att man ska ställa upp någon form av ekvationssystem mha ekvationen för gradF = (2x, 4y, 6z) men sen kommer jag inte så mycket längre!
Tacksam för hjälp!

Låt S vara den givna ytan (en ellipsoid).

Låt P0 = (x0, y0, z0) vara en punkt på S.

Tangentplanet T till S i P0 ges av ekvationen (2x0, 4y0, 6z0) * (x, y, z) = c, där c är en konstant.

Eftersom P0 ligger i T gäller (2x0, 4y0, 6z0) * (x0, y0, z0) = c, dvs 2x0^2 + 4y0^2 + 6z0^2 = c.

Eftersom P0 ligger på S gäller samtidigt att x0^2 + 2y0^2 + 3z0^2 = 6. Härur får vi c = 2(x0^2 + 2y0^2 + 3z0^2) = 2*6 = 12.

Vi vet nu att (6, 0, 0) ligger i tangentplanet, så 2x0 * 6 = c, dvs x0 = c/12 = 1. Likaså gäller 4y0 * 3 = c, dvs y0 = c/12 = 1.

Vi kan nu bestämma z0 genom ytans ekvation: 3z0^2 = 6 - x0^2 - 2y0^2 = 6 - 1^2 - 2*1^2 = 3, dvs z0 = ±1.

Tangentplanets ekvation är alltså (2, 4, ±6) * (x, y, z) = 12.

Tack så mycket för hjälpen! Har aldrig riktigt förstått hur man skulle lösa den här typen av uppgifter. Mycket hjälpsamt!

Här kommer då en fråga på samma tema, men som inte rör den här uppgiften:
"Vi har en nivåyta 2x^3 - y*x^2 - y^2 - z + 11 = 0, bestäm tangentplanet till ytan i punkten, (vilket jag gjort, och får det till 12(x-2)-12(y-3)-z=0, vilket enl facit är rätt). Bestäm sedan den vinkel som tangentplanet i punkten (2,3,0) bildar med xy-planet."

Här vet jag inte vilken väg jag ska gå. Jag vet hur man får fram vinkeln mellan två vektorer (räta linjer) genom v = arccos(v1*v2/(abs(v1)*abs(v2))) men jag vet inte riktigt vilka vektorer jag ska välja.
Antingen så väljer jag tangentvektorn eller normalvektorn i den givna punkten på tangentplanet. Hur får jag fram dessa i utifrån beskrivningen jag har av tangentplanet?

Normalvektorn har jag innan (med endast x och y, inte z) tagit ut genom att skriva på formen
(x, y, z) =(2, 3, 0) + t(12, -12, -1), jag får då ett ekvationssystem

x = 2 + 12t
y = 3 - 12t
z = -t

Detta ekvationssystem har jag lite svårt att lösa, för om jag löser ut t ur översta och sätter in i mellersta har jag inget kommer ja inte längre, då de varken finns t eller z kvar i det resulterande uttrycket. Är jag så ringrostig på ekvationssystem eller funkar inte denna metod för att ta fram normalvektorn med 3 axlar?

Om jag sen ska ta fram en normalvektor för xy-planet, räcker det då att jag har två punkter i rymden (som är vinkelräta mot xy-planet) exempelvis
xyN = (1, 1, 0) - (1, 1, 1) = (0, 0, -1) och använder denna som en av vektorerna för att räkna ut vinkeln?

Tips o hjälp mottages gärna!

Ta vinkeln mellan de två planens normaler. Om ett plan har ekvationen ax + by + cz = d, så är (a, b, c) en normal. Så 12(x-2)-12(y-3)-z=0 har (12, -12, -1) som en normal. Och xy-planet har (0, 0, 1) som en normal (vilket du bör kunna utan att behöva utföra beräkningar).

Påpekande: (x, y, z) =(2, 3, 0) + t(12, -12, -1) är inte en normalvektor, utan en normallinje.