En cirkel med oändligt många hörn = Den perfekta cirkeln?

Alla polygoner har ändligt många hörn. När man talar om en "polygon med oändligt många hörn" menar man "gränsvärdet av en polygon med N hörn när N går mot oändligheten".

Ett litet tillägg till mitt argument: man kan ju få (cos(1), sin(1)) att ligga på en n-gon inskriven i enhetscirkeln. Om (1,0) ligger på n-gonen är det ju bara att vrida den 1 radian. Implicit har jag förutsatt att (1,0) ligger på n-gonen, i och med att 1 alltid är en enhetsrot, man kan ju också välja att någon annan punkt alltid ska vara ett hörn, men det blir bara en rotation av den n-gon som har ett hörn i (0, 1).

Vet du ens vad ett induktionsbevis och ett gränsvärde är?

Det är ett argument i ulvens kläder! Det stygga, onämnbara argumentet!

Den vise känner detta argument. Följeslagaren har 666 osv. inristat i pannan.. Hmmm? Var var jag nu?

Vanlig universitetsnivå räcker normalt sett inte, utan detta låter som något som först tas upp vid en ordentlig topologi-kurs. Gränsvärdet för polygoner saknar vanligtvis betydelse (konvergens av följder av punktmängder?).

Men du har rätt i att om vi tittar på detta ur en enklare analys-synvinkel så kan vi ändå hitta mycket goda skäl till att kalla "polygoner med oändligt antal hörn" för cirklar.


http://img341.imageshack.us/img341/2064/circlepolygon.png

Suck. Ja, jag ser att du inte skrivit beviset som ett induktionsbevis. Vad jag var ute efter var mer att om man formulerar det som ett så blir det mer uppenbart var tankefelet ligger, då poängen med induktionsbevis är att visa att något gäller för alla heltal, men det kommer inte att även gälla för oändligheten. Men strunta i det, var bara ett stickspår.

Vad gäller gränsvärden så är den springande punkten att en egenskap som finns i alla värden som bygger upp gränsvärdet inte nödvändigtvis även gäller för själva gränsvärdet. Jag har redan gett ett exempel med eulers nummer. Ett annat är t.ex. gränsvärdet lim{x→∞}(1/x), som är exakt 0 (antar att alla håller med om det iaf), men varje värde i serien är ändå skiljt från 0.

Men det är ändå precis detta som argumentet förutsätter.

Bra poäng, det jag visat är att det finns punkter som inte ingår i någon n-gon, men det är ju egentligen inte ett argument mot punktmängdens gränsvärde. Avstånden går ju, som du visar, mot 0 och då får man väl anse punktmängdens gränsvärde vara cirkeln. Ett gränsvärde behöver ju aldrig antas. Knasigt tänkt av mig alltså.

Att du skrev induktionsbevis fick mig att spåra ur lite också. Ber om ursäkt om du uppfattade mig som otrevlig eller dryg. Det var ogenomtänkt och fel av mig.

Naturligtvis sant, inser det nu. Men vi är väl fortfarande överens om att det finns punkter på enhetscirkeln som inte ingår i någon inskriven regelbunden n-gon? Jag gjorde ett litet för stort språng från den punkten, avvikelsen från cirkeln (mätt med avståndet från någon punkt på n-gonen till cirkeln) går naturligtvis mot 0. Knasigt tänkt av mig, som sagt.

Det finns väl en skillnad mellan de tre benämningarna:

* Approximera det med...

*Definiera det som...

*Kalla det...

I samtliga fall handlar det om olika grader av antaganden för att rent förståelsemässigt kunna hantera det oändliga.

Det är emellertid en ganska stor skillnad mellan att "approximera 0,99999999 med 1" och att "approximera definitionen av en cirkel med en polygon med oändligt antal hörn". Det senare blir meningslöst eftersom det bara är ett namn på en symbol. Däremot är det naturligtvis möjligt att approximativt räkna med förhållanden som gäller för en cirkel även om det i realiteten är en "polygon med oändligt antal hörn".

"Kalla" och "låt .... vara" och "definiera" brukar användas väldigt synonymt i matematiken (de två senare uttrycken är dock aningen striktare).

"Approximera" gör diskussionen här meningslös. Vi kan approximera pi med 3 och vi kan approximera 1 med 0,999999; det finns inget som helst fel med att göra det. Frågeställningen frågar inte efter om hurvidda en "cirkel" kan approximeras som "en regelbunden polygon med oändligt många hörn" utan om de två är två olika benämningar på samma sak, i stil med att "0,9999999..." och "1" är två olika benämningar på samma tal.

Jag tycker därmed att min formulering är vettig. Okay, man bör egentligen byta plats på "polygoner med oändligt antal hörn" och "cirklar".