Sannolikhetslära

Nej, det resonemanget gäller bara om händelserna är oberoende av varandra.

Jag tolkar premisserna så här, sannolikheten att glömma ett paraply i en affär är 1/4 om man inte glömt det i en tidigare affärer...
Definiera händelserna A=gubben glömde paraplyt i affär 1, B=gubben glömde paraplyt i affär 2, C=gubben glömde paraplyt i affär 3.
Det som är givet är: (A* betecknar komplementhändelsen av A)
P(A)=1/4 (=> P(A*)=3/4 )
P(B|A*)=1/4
P(C|(AuB)*)=1/4 (sannolikheten att du glömmer ett paraply i en affär om du inte redan har glömt det är 1/4).
Vidare är A, B och C disjunkta händelser för man kan bara glömma ett paraply i en affär. =>
P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C)

Söker P(B|AuBuC)=P(B)/P(AuBuC) och P(C|AuBuC)=P(C)/P(AuBuC): Bestäm alltså P(B), P(C), P(AuBuC)::
Upprepat användning av lagen om total sannolikhet ger:
P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A*)P(A*)=0*P(A)+(1/4)(3/4)=3/16
P(C)=p(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)+P(C|(AuB)*)P((AuB)*) {ty A, B, (AuB)* är disjunkta händelser som utgör hela händelserummet)}
=>
P(C)=0+0+1/4*P((AuB)*)=1/4(1-P(A)-P(B))=(1/4)(1-1/4-3/16)=9/64
P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C)=1/4+3/16+9/64=37/64

=> P(C)/P(AuBuC)=9/37
P(B)/P(AuBuC)=12/37

Stort tack.

Snyggt träd för övrigt.
Om det fanns ett oändligt antal reläer skulle vi få ett kaosteoretiskt fraktalsystem byggt på binära oppositioner.

A rat is trapped in a maze. He has to choose one of two directions, each with equal probability. If he goes to the right, he will wonder around for three minutes and then return to his starting point. If he goes left, then he escapes immediately with probability ⅓, or wanders around and returns to his initial position after five minutes with probability ⅔. Compute the expected value and the variance of the time he is trapped in the maze.

T~tiden det tar honom att komma ut.
väg1~höger
väg2~vänster

E[T] = E[T|väg1]*p(väg1) + E[T|väg2]*p(väg2) = ½(3+E[T]) + ½(0*⅓ + ⅔(5+E[T])) = ... = 19.

Men när jag ska räkna ut E[T²] för att beräkna variansen får jag bekymmer. Jag vill ha det som följande:
E[T²] = ½(3+E[T])² + ½(0*⅓ + ⅔(5+E[T]))²
men det blir fel. Hur blir det, och varför tänker jag fel?

Det blir E((T+3)^2) inte (E(T+3))^2 etc..

Får väl acceptera det, men förstår inte riktigt varför.

En till fråga jag har problem med.

A coin produces heads with p = ⅔ and tails with p = ⅓. Different throws are independent. Suppose a coin is tossed successively until either there is a sequence of three heads in a row, or a sequence of three tails in a row. Compute the probability that there is a sequence of three heads.

Jag försökte räkna ut p(HHH | HHHuTTT) men det blev fel så jag blev lite osäker på om man över huvud taget kan ställa upp problemet så. Vet inte riktigt var jag ska börja annars. Nån som har lust att hjälpa till?

betrakta det som ett spel, låt spelare A vara den som vill ha 3 heads, o B 3 tails.
Sätt
s_1:HHH
s_2:TTT
s_3:HHT
s_4:HTH
s_5:THH
s_6:TTH
s_7:THT
s_8:HTT


söker P(spelare A vinner)
sätt p_i=P(Spelare A Vinner|senaste 3 kasten är s_i)
P(s_i)=sannolikheten att få sekvensen s_i på 3 kast
P(s_1)=(2/3)^3
P(s_2)=(1/3)^3
P(s_3)=P(s_4)=P(s_5)=(2/3)(2/3)(1/3)
P(s_6)=P(s_7)=P(s_8)=(2/3)(1/3)(1/3)

P(spelare A vinner)=sum(i...8, p_i*P(s_i))=
=(8/27)p_1+(1/27)p_2+(4/27)(p_3+p_4+p_5)+(2/27)(p_6+p_7+p_8)

sedan kan vi ställa upp ett ekvationssystem för p_i:na eftersom man har koll på sannolikheterna att hoppa mellan olika tillstånd; tex har vi kastat HTH så hoppar vi till tillståndet THH med sannolikhet 2/3 och till THT med sannolikhet 1/3, så om man ställer upp detta får man ett ekvationssystem, vidare är

p_3=p_7
p_4=p_6

p_1=1
p_2=0
p_3=(1/3)*p_8+(2/3)*p_4
p_4=(2/3)*p_5+(1/3)*p_3
p_5=(2/3)*p_1+(1/3)*p_3
p_8=(1/3)*p_2+(2/3)*p_4

p_4=36/41
p_3=32/41
p_5=2/3+32/(41*3)=38/41
p_8=24/41

vilket insatt i ekvationen ger P(A vinner)=8/27+(4/(27*41))(38+32+36)+(2/(27*41))(36+32+24)=86%

Kanske finns det en kortare väg till lösningen

Tack.

Nästa spännande fråga!

Två personer har en dag beslutat att träffas på en viss plats vid lunchdags. De är lite osäkra på när de kan komma dit, men har kommit överens om att vänta upp till 30 minuter på varandra vid mötesplatsen, innan de ger upp och går därifrån. Båda kan anses anlända till mötesplatsen oberoende av varandra vid en slumpmässig tidpunkt likformigt fördelad mellan klockan 12:00 och 13:00. Vad är sannolikheten för att de träffas?

Jag vet inte riktigt var jag ska börja. Någon som kan?